九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 ベクトル・図形と方程式文系数学 第4問(a)

$$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$$, $$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$$とおく。

(1) $$\overrightarrow{OG}=k\vec{a}+k\vec{b}$$ である。三角形$OAB$内の点は $\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}$ と表したとき $$\lambda >0,\mu >0,\lambda +\mu <1$$ を満たす。ここでは$\lambda =\mu =k$なので $k>0,2k<1$ である。したがって $0<k<{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

(2)
$P,Q$はそれぞれ$OA,OB$方向に$p,q$倍の位置にある。したがって、三角形$OPQ$の面積は三角形$OAB$の面積の$pq$倍である。よって $${\displaystyle \frac{S^{\mathrm{\prime }}}{S}}=pq$$ である。

(3)
直線$PQ$上の点は、ある実数$\lambda$を用いて $\lambda p\vec{a}+(1-\lambda )q\vec{b}$ と表せる。これが$G$に等しいとすると $$\lambda p=k,(1-\lambda )q=k$$ である。よって $${\displaystyle \frac{k}{p}}+{\displaystyle \frac{k}{q}}=1$$ となり $$k={\displaystyle \frac{pq}{p+q}}$$ である。

(4)
$k=1\mathrm{/}4$であるから、(3)より $${\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{pq}{p+q}}$$ である。したがって $p+q=4pq$ である。$u=pq$とおくと$p+q=4u$である。一方 $$p+q\geqq 2\sqrt{pq}=2\sqrt{u}$$ なので $4u\geqq 2\sqrt{u}$ である。$u>0$より $2\sqrt{u}\geqq 1$ すなわち $u\geqq {\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。

等号は$p=q$のときで、条件$p+q=4pq$と合わせると$p=q=1\mathrm{/}2$で実現する。したがって $${\displaystyle \frac{S^{\mathrm{\prime }}}{S}}=pq$$ の最小値は ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。

辺 $OA,OB$ を斜交座標軸とみなし、$P=(p,0)$, $Q=(0,q)$, $G=(k,k)$ と書く。直線 $PQ$ の切片形 $X\mathrm{/}p+Y\mathrm{/}q=1$ を使えば共線条件が直ちに出る。最後は逆数に相加・相乗平均を適用する。

$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}$ を座標軸とする。

(1)
この座標で$$O=(0,0),A=(1,0),B=(0,1),G=(k,k)$$である。三角形の内部条件は$$k>0,k>0,2k<1$$だから$$0<k<{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(2)
この斜交座標でも、2本の辺方向の倍率が $p,q$ なら面積の倍率はその積である。従って$${\displaystyle \frac{S^{\mathrm{\prime }}}{S}}=pq\mathrm{.}$$(3)
$P=(p,0)$, $Q=(0,q)$ を通る直線は$${\displaystyle \frac{X}{p}}+{\displaystyle \frac{Y}{q}}=1$$である。$G=(k,k)$ を代入すると$${\displaystyle \frac{k}{p}}+{\displaystyle \frac{k}{q}}=1,$$従って$$k={\displaystyle \frac{pq}{p+q}}\mathrm{.}$$(4)
$k=1\mathrm{/}4$ より$${\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}=4.$$相加・相乗平均から$$4={\displaystyle \frac{1}{p}}+{\displaystyle \frac{1}{q}}\geqq {\displaystyle \frac{2}{\sqrt{pq}}},$$ゆえに$$pq\geqq {\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$等号は $p=q=1\mathrm{/}2$ で実現する。従って$$\min {\displaystyle \frac{S^{\mathrm{\prime }}}{S}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$\Needspace{8cm}