九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 確率文系数学 第4問(c)

(1)
1回目の後に赤玉が2球残っているのは、白玉を2球取り出した場合である。したがって $$p_1={\displaystyle \frac{{}_8{\mathrm{C}}_2}{{}_{10}{\mathrm{C}}_2}}={\displaystyle \frac{28}{45}}$$ である。

1回目の後に赤玉が1球残っているのは、赤玉1球と白玉1球を取り出した場合である。よって$$q_1={\displaystyle \frac{{}_2{\mathrm{C}}_1{}_8{\mathrm{C}}_1}{{}_{10}{\mathrm{C}}_2}}={\displaystyle \frac{16}{45}}$$である。

(2)
2回目の後に赤玉が1球残っている場合を、1回目後の状態で分ける。

1回目後に赤玉が2球残っている確率は$p_1$である。この状態から赤玉が1球残るには、次に赤玉1球と白玉1球を取り出せばよい。その確率は$${\displaystyle \frac{{}_2{\mathrm{C}}_1{}_8{\mathrm{C}}_1}{{}_{10}{\mathrm{C}}_2}}={\displaystyle \frac{16}{45}}$$である。

1回目後に赤玉が1球残っている確率は$q_1$である。この状態から赤玉が1球残ったままであるには、次に白玉を2球取り出せばよい。袋の中は赤1球、白8球、合計9球なので、その確率は $${\displaystyle \frac{{}_8{\mathrm{C}}_2}{{}_9{\mathrm{C}}_2}}={\displaystyle \frac{7}{9}}$$ である。したがって$$q_2={\displaystyle \frac{28}{45}}\cdot {\displaystyle \frac{16}{45}}+{\displaystyle \frac{16}{45}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{9}}={\displaystyle \frac{112}{225}}$$である。

(3)
$n\geqq 2$とする。赤玉が2球残っている状態が続くには、直前も赤玉が2球残っていて、今回も白玉2球を取り出す必要がある。よって $$p_n={\displaystyle \frac{28}{45}}{p}_{n-1}$$ である。

赤玉が1球残っている状態になるには、次の2通りがある。直前に赤玉が2球残っていて今回赤玉1球と白玉1球を取り出す場合、または直前に赤玉が1球残っていて今回白玉2球を取り出す場合である。したがって $$q_n={\displaystyle \frac{16}{45}}{p}_{n-1}+{\displaystyle \frac{7}{9}}{q}_{n-1}$$ である。

赤玉の残数 $2,1,0$ を状態とする推移図を作る。各矢印の確率を組合せで求めれば、初期ベクトル $(1,0,0)$ に推移行列を掛けるだけで $p_1,q_1,q_2$ と漸化式が同時に得られる。

状態を赤玉の残数 $2,1,0$ の順に並べる。赤玉2球の状態からの推移確率は$$2\to 2:{\displaystyle \frac{{}_8{\mathrm{C}}_2}{{}_{10}{\mathrm{C}}_2}}={\displaystyle \frac{28}{45}},2\to 1:{\displaystyle \frac{{}_2{\mathrm{C}}_1{}_8{\mathrm{C}}_1}{{}_{10}{\mathrm{C}}_2}}={\displaystyle \frac{16}{45}}\mathrm{.}$$赤玉1球の状態からは$$1\to 1:{\displaystyle \frac{{}_8{\mathrm{C}}_2}{{}_9{\mathrm{C}}_2}}={\displaystyle \frac{7}{9}}\mathrm{.}$$(1)
初期状態が $(1,0,0)$ だから$$p_1={\displaystyle \frac{28}{45}},q_1={\displaystyle \frac{16}{45}}\mathrm{.}$$(2)
推移図で状態1へ入る2本の矢印を足して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle q_2}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{16}{45}}{p}_1+{\displaystyle \frac{7}{9}}{q}_1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{16}{45}}{\displaystyle \frac{28}{45}}+{\displaystyle \frac{7}{9}}{\displaystyle \frac{16}{45}}={\displaystyle \frac{112}{225}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
同じ推移を第 $n-1$ 回から第 $n$ 回へ適用すれば$$p_n={\displaystyle \frac{28}{45}}{p}_{n-1},q_n={\displaystyle \frac{16}{45}}{p}_{n-1}+{\displaystyle \frac{7}{9}}{q}_{n-1}\mathrm{.}$$\Needspace{7cm}