九州大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

(1)

点 $(t,f(t))$ における接線は $y=f(t)+f^{\mathrm{\prime }}(t)(x-t)$ である。この直線が $y$ 軸と交わる点は $x=0$ を代入して $y=f(t)-t{f}^{\mathrm{\prime }}(t)$ である。

問題文より、この値は $(t^2-1)f(t)$ に等しい。したがって $f(t)-t{f}^{\mathrm{\prime }}(t)=(t^2-1)f(t)$ である。整理して $t{f}^{\mathrm{\prime }}(t)=(2-t^2)f(t)$ を得る。変数名を $x$ に戻せば、求める微分方程式は $x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=(2-x^2)f(x)$ である。

(2) $x>0$ であるから、(1)の式を $${\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{f(x)}}={\displaystyle \frac{2}{x}}-x$$ と見る。両辺を積分すると $$\log f(x)=2\log x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+C$$ である。したがって $f(x)=C{x}^2{e}^{-x^2\mathrm{/}2}$ と書ける。

条件 $f(1)=1$ より $1=C{e}^{-1\mathrm{/}2}$ だから $C=e^{1\mathrm{/}2}$ である。よって $f(x)=x^2{e}^{(1-x^2)\mathrm{/}2}$ である。

(3)

(2) で求めた $f(x)$ は $x>0$ で正である。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $${\displaystyle \frac{f^{\mathrm{\prime }}(x)}{f(x)}}={\displaystyle \frac{2}{x}}-x$$ の符号と同じである。 $${\displaystyle \frac{2}{x}}-x={\displaystyle \frac{2-x^2}{x}}$$ であり、$x>0$ なので、$0<x<\sqrt{2}$ では正、$x>\sqrt{2}$ では負である。よって $f(x)$ は $x=\sqrt{2}$ で最大となる。

最大値は $$f(\sqrt{2})=2e^{(1-2)\mathrm{/}2}=2e^{-1\mathrm{/}2}$$ である。

線形微分方程式を積分因子で解き、最大値は指数関数の基本不等式で評価する。

(1)

接線の $y$ 切片から$$f(x)-x{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=(x^2-1)f(x),$$すなわち$$f^{\mathrm{\prime }}(x)-({\displaystyle \frac{2}{x}}-x)f(x)=0.$$(2)

積分因子で零点の問題を避ける。
ここで$$\mu (x)={\displaystyle \frac{e^{x^2\mathrm{/}2}}{x^2}}$$を掛けると$${\displaystyle \frac{d}{dx}}\{\mu (x)f(x)\}=0.$$したがって$$f(x)=C{x}^2{e}^{-x^2\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$$f(1)=1$ より $C=e^{1\mathrm{/}2}$ だから$$f(x)=x^2{e}^{(1-x^2)\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$(3)

指数関数の基本不等式を使う。$$u={\displaystyle \frac{x^2}{2}}>0$$とおくと$$f(x)=2e^{-1\mathrm{/}2}u{e}^{1-u}\mathrm{.}$$基本不等式 $e^{u-1}\geqq u$ より$$u{e}^{1-u}\leqq 1,$$等号は $u=1$ のときに限る。よって$$x=\sqrt{2}\text{ のとき最大値 }2e^{-1\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$