九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 確率理系数学 第4問(c)

1つの袋には金色のカード3枚、銀色のカード$3n-3$枚、合計$3n$枚が入っている。したがって、1つの袋から金色を引く確率は $${\displaystyle \frac{3}{3n}}={\displaystyle \frac{1}{n}}$$ である。各袋からの取り出しは独立である。

(1)
$n=4$のとき、金色を引く確率は$1\mathrm{/}4$、銀色を引く確率は$3\mathrm{/}4$である。よって$$P(X_4=3)={}_4{\mathrm{C}}_3{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^3\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)={\displaystyle \frac{3}{64}}$$である。また$$P(X_4=2)={}_4{\mathrm{C}}_2{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2={\displaystyle \frac{27}{128}}$$である。

(2)
$X_4$は、4回の独立な試行で成功確率$1\mathrm{/}4$の成功回数であるから $E(X_4)=4\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}=1$ である。金色のカード1枚につき100円を受け取るので、賞金の期待値は $100\text{円}$ である。

(3)
一般の$n\geqq 3$について、$X_n=3$となる確率は$$P(X_n=3)={}_n{\mathrm{C}}_3{\left({\displaystyle \frac{1}{n}}\right)}^3{(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})}^{n-3}$$である。整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(X_n=3)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{n(n-1)(n-2)}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{n^3}}\cdot {\left({\displaystyle \frac{n-1}{n}}\right)}^{n-3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(n-2)(n-1{)}^{n-2}}{6n^{n-1}}}}\end{array}$$である。

(4)
(3)
の式を $$P(X_n=3)={\displaystyle \frac{1}{6}}\cdot {\displaystyle \frac{n-2}{n}}{(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})}^{n-2}$$ と書く。ここで $${\displaystyle \frac{n-2}{n}}\to 1,{(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})}^{n-2}\to e^{-1}$$ であるから $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(X_n=3)={\displaystyle \frac{1}{6e}}$$ である。

確率母関数 $(1-1\mathrm{/}n+z\mathrm{/}n{)}^n$ を使う。$z^k$ の係数が $P(X_n=k)$、$z=1$ での微分が期待値を与えるので、各設問を同じ式から処理できる。

1袋から金色を引く確率は $1\mathrm{/}n$ である。従って $X_n$ の確率母関数は$$G_n(z)={(1-{\displaystyle \frac{1}{n}}+{\displaystyle \frac{z}{n}})}^n\mathrm{.}$$(1)
$n=4$ として $z^3,z^2$ の係数を読めば$$P(X_4=3)={}_4{\mathrm{C}}_3{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^3{\displaystyle \frac{3}{4}}={\displaystyle \frac{3}{64}},$$$$P(X_4=2)={}_4{\mathrm{C}}_2{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2={\displaystyle \frac{27}{128}}\mathrm{.}$$(2)$$E(X_4)=G_4^{\mathrm{\prime }}(1)=1$$だから、賞金の期待値は$$100\text{円}\mathrm{.}$$(3)
$z^3$ の係数より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(X_n=3)}& {\displaystyle ={}_n{\mathrm{C}}_3{\displaystyle \frac{1}{n^3}}{(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})}^{n-3}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(n-2)(n-1{)}^{n-2}}{6n^{n-1}}}\mathrm{.}}\end{array}$$(4)$$P(X_n=3)={\displaystyle \frac{1}{6}}(1-{\displaystyle \frac{2}{n}}){(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})}^{n-2}⟶{\displaystyle \frac{1}{6e}}\mathrm{.}$$