九州大学 1996年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $$\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)$$である。したがって$$f(\overrightarrow{OP})=\left(\begin{array}{cc}2& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\cos \theta +\sqrt{3}\sin \theta \\ \sqrt{3}\cos \theta \end{array}\right)$$である。

よって内積を $g(\theta )$ とおくと$$g(\theta )=(2\cos \theta +\sqrt{3}\sin \theta )\cos \theta +\sqrt{3}\cos \theta \sin \theta$$であり、整理して $$g(\theta )=2{\cos }^2\theta +2\sqrt{3}\sin \theta \cos \theta$$ となる。二倍角の公式を用いると$$g(\theta )=1+\cos 2\theta +\sqrt{3}\sin 2\theta =1+2\cos (2\theta -{\displaystyle \frac{\pi }{3}})$$である。 $0\leqq \theta \leqq \pi$ のとき、$2\theta -\pi \mathrm{/}3$ は $-\pi \mathrm{/}3$ から $5\pi \mathrm{/}3$ まで動く。この範囲で余弦は $1$ も $-1$ もとる。したがって最大値は $3$ で、これは $2\theta -\pi \mathrm{/}3=0$、すなわち $\theta =\pi \mathrm{/}6$ のときである。最小値は $-1$ で、これは $2\theta -\pi \mathrm{/}3=\pi$、すなわち $\theta =2\pi \mathrm{/}3$ のときである。

(2)
最大値を与えるのは $\theta =\pi \mathrm{/}6$ である。このとき$$\overrightarrow{OP}=\left(\begin{array}{c}\sqrt{3}\mathrm{/}2\\ 1\mathrm{/}2\end{array}\right)$$である。これを写すと$$f(\overrightarrow{OP})=\left(\begin{array}{c}2\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+\sqrt{3}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \sqrt{3}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\sqrt{3}\mathrm{/}2\\ 3\mathrm{/}2\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{c}\sqrt{3}\mathrm{/}2\\ 1\mathrm{/}2\end{array}\right)$$である。したがって $$f(\overrightarrow{OP})=3\overrightarrow{OP}$$ となり、$f(\overrightarrow{OP})$ と $\overrightarrow{OP}$ は平行である。

対称行列の固有値を求め、単位ベクトルとの二次形式の最大・最小を固有方向から読む。最大固有値に対応する方向では像が元のベクトルの定数倍になるので、(2) も同時に従う。

(1)
行列を$$M=\left(\begin{array}{cc}2& \sqrt{3}\\ \sqrt{3}& 0\end{array}\right)$$とする。固有値は$$\det (M-\lambda I)={\lambda }^2-2\lambda -3=(\lambda -3)(\lambda +1)$$より $3,-1$ である。対応する互いに直交する単位固有ベクトルとして$${\vec{e}}_1=\left(\begin{array}{c}\sqrt{3}\mathrm{/}2\\ 1\mathrm{/}2\end{array}\right),{\vec{e}}_2=\left(\begin{array}{c}-1\mathrm{/}2\\ \sqrt{3}\mathrm{/}2\end{array}\right)$$を取れる。$$\vec{u}=\overrightarrow{OP}$$ は単位ベクトルなので$$\vec{u}=p{\vec{e}}_1+q{\vec{e}}_2,p^2+q^2=1$$と書ける。このとき$$f(\vec{u})\cdot \vec{u}=(3p{\vec{e}}_1-q{\vec{e}}_2)\cdot (p{\vec{e}}_1+q{\vec{e}}_2)=3p^2-q^2=4p^2-1.$$したがって$$\max 3,\min (-1)\mathrm{.}$$最大は $\vec{u}={\vec{e}}_1$、すなわち $\theta =\pi \mathrm{/}6$ で取り、最小は $\vec{u}={\vec{e}}_2$、すなわち $\theta =2\pi \mathrm{/}3$ で取る。

(2)
最大時には $$\overrightarrow{OP}={\vec{e}}_1$$ である。固有ベクトルの定義から$$f(\overrightarrow{OP})=M{\vec{e}}_1=3{\vec{e}}_1=3\overrightarrow{OP}\mathrm{.}$$よって二つのベクトルは平行である。