九州大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 ベクトル文系数学 第4問(a)

(1)

(1) (i)

内分点の公式より$$\overrightarrow{OP}={\displaystyle \frac{m}{m+n}}\vec{a},\overrightarrow{OQ}={\displaystyle \frac{n\vec{b}+m\vec{c}}{m+n}}$$である。また$$\overrightarrow{OR}={\displaystyle \frac{n}{m+n}}\vec{c},\overrightarrow{OS}={\displaystyle \frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}}$$である。したがって$$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OP}={\displaystyle \frac{-m\vec{a}+n\vec{b}+m\vec{c}}{m+n}}$$であり、$$\overrightarrow{RS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OR}={\displaystyle \frac{n\vec{a}+m\vec{b}-n\vec{c}}{m+n}}$$である。

(1) (ii)

正四面体の一辺の長さは1であるから $$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=1,\mathrm{\mid }\vec{a}-\vec{b}\mathrm{\mid }=AB=1$$ である。よって $$\mathrm{\mid }\vec{a}-\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\vec{a}{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\vec{b}{\mathrm{\mid }}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}$$ より $$1=1+1-2\vec{a}\cdot \vec{b}$$ となる。したがって $$\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{1}{2}$$ である。

(1) (iii)

正四面体の対称性より $$\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{a}=\frac{1}{2}$$ である。(1)(i)の表示を用いると$$(m+n{)}^2\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{RS}=(-m\vec{a}+n\vec{b}+m\vec{c})\cdot (n\vec{a}+m\vec{b}-n\vec{c})\mathrm{.}$$これを展開すると、長さの2乗から出る部分は $-mn+mn-mn=-mn$ であり、異なる2本の内積から出る部分は $$\frac{1}{2}\{(n^2-m^2)+2mn+(m^2-n^2)\}=mn$$ である。したがって全体は0になり、$$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{RS}=0$$ である。よって $PQ\perp RS$ である。

(2)

(2) (i) $m=n$ のとき$$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\vec{a},\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c}),\overrightarrow{OR}=\frac{1}{2}\vec{c},\overrightarrow{OS}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$$である。このとき$$\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{OS}-\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\vec{b}$$であり、また$$\overrightarrow{RQ}=\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OR}=\frac{1}{2}\vec{b}$$である。したがって $PS$ と $RQ$ は平行で長さも等しいので、4点 $P,Q,R,S$ は同一平面上にある。

(2) (ii) $m=n$ のとき、$PQ$ と $RS$ の中点は一致する。実際、$${\displaystyle \frac{\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ}}{2}}=\frac{1}{4}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$$であり、$${\displaystyle \frac{\overrightarrow{OR}+\overrightarrow{OS}}{2}}=\frac{1}{4}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$$でもある。したがって交点 $G$ について $$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{4}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$$ である。

(2) (iii) $G$ から各頂点までの距離を調べる。まず$$16G{O}^2=\mathrm{\mid }\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2=3+2(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2})=6$$である。次に $$4\overrightarrow{GA}=3\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}$$ であるから$$16G{A}^2=\mathrm{\mid }3\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2=9+1+1+2(-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}+\frac{1}{2})=6.$$同様に $16G{B}^2=16G{C}^2=6$ も成り立つ。よって $GO=GA=GB=GC$ であり、$G$ は正四面体 $OABC$ に外接する球の中心である。その半径は $$GO={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}$$ である。

正四面体の各辺上の内分点

正四面体を具体的な直交座標に置き、内分点を座標で計算する。内積・同一平面・交点を通常の座標計算で確認し、外接球中心は4頂点までの距離が等しいことから判定する。

正四面体を$$O=(0,0,0),A=(1,0,0),B=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},0),$$$$C=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}},\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}})$$と置く。

(1)

(1) (i)

内分点公式を座標ベクトルに適用すれば$$\overrightarrow{PQ}={\displaystyle \frac{-m\vec{a}+n\vec{b}+m\vec{c}}{m+n}},\overrightarrow{RS}={\displaystyle \frac{n\vec{a}+m\vec{b}-n\vec{c}}{m+n}}\mathrm{.}$$(1)(ii)

上の座標から$$\vec{a}\cdot \vec{b}=(1,0,0)\cdot ({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},0)={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(1)(iii)

同様に $$\vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{b}\cdot \vec{c}=1\mathrm{/}2$$ である。2つのベクトルの内積を展開すると、長さの2乗から $-mn$、相異なるベクトルの内積から $mn$ が生じて打ち消し合う。よって$$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{RS}=0$$であり、$PQ\perp RS$ である。

(2)

(2) (i)

$m=n$ なら$$P={\displaystyle \frac{A}{2}},Q={\displaystyle \frac{B+C}{2}},R={\displaystyle \frac{C}{2}},S={\displaystyle \frac{A+B}{2}}\mathrm{.}$$このとき$$\overrightarrow{PS}={\displaystyle \frac{B}{2}}=\overrightarrow{RQ}$$だから $PQRS$ は平行四辺形であり、4点は同一平面上にある。

(2) (ii)

平行四辺形の対角線の中点が交点 $G$ なので$$\overrightarrow{OG}={\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{\vec{a}}{2}}+{\displaystyle \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}})={\displaystyle \frac{1}{4}}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\mathrm{.}$$(2)(iii)

上の具体座標へ代入すると$$G=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6}},{\displaystyle \frac{1}{4}}\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}})\mathrm{.}$$直接距離を計算すれば$$G{O}^2=G{A}^2=G{B}^2=G{C}^2={\displaystyle \frac{3}{8}}\mathrm{.}$$したがって $G$ は外接球中心で、半径は$$\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{8}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}$$である。