九州大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 ベクトル理系数学 第5問(a)

(1)

(1) (i)

内分点の公式より$$\overrightarrow{OP}={\displaystyle \frac{m}{m+n}}\vec{a},\overrightarrow{OQ}={\displaystyle \frac{n\vec{b}+m\vec{c}}{m+n}}$$である。また$$\overrightarrow{OR}={\displaystyle \frac{n}{m+n}}\vec{c},\overrightarrow{OS}={\displaystyle \frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}}$$である。したがって$$\overrightarrow{PQ}={\displaystyle \frac{-m\vec{a}+n\vec{b}+m\vec{c}}{m+n}},\overrightarrow{RS}={\displaystyle \frac{n\vec{a}+m\vec{b}-n\vec{c}}{m+n}}$$である。

(1) (ii)

正四面体より$$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=1,\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{a}=\frac{1}{2}$$である。(1)(i)の2つのベクトルの内積を計算すると$$(m+n{)}^2\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{RS}=(-m\vec{a}+n\vec{b}+m\vec{c})\cdot (n\vec{a}+m\vec{b}-n\vec{c})\mathrm{.}$$長さの2乗の項は $-mn+mn-mn=-mn$ で、異なるベクトルの内積の項は $$\frac{1}{2}\{(n^2-m^2)+2mn+(m^2-n^2)\}=mn$$ である。したがって内積は0となり、$PQ\perp RS$ である。

(2)

(2) (i)

4点 $P,Q,R,S$ が同一平面上にあるとする。このとき$$\overrightarrow{OS}=\alpha \overrightarrow{OP}+\beta \overrightarrow{OQ}+(1-\alpha -\beta )\overrightarrow{OR}$$と書ける。両辺に $m+n$ を掛け、$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ の係数を比較すると $$n=\alpha m,m=\beta n,0=\beta m+(1-\alpha -\beta )n$$ を得る。最初の2式から $$\alpha ={\displaystyle \frac{n}{m}},\beta ={\displaystyle \frac{m}{n}}$$ である。これを3つ目の式に代入すると $$0={\displaystyle \frac{m^2}{n}}+n-{\displaystyle \frac{n^2}{m}}-m$$ であり、両辺に $mn$ を掛けて整理すると $(m-n)(m^2+n^2)=0$ となる。$m,n>0$ なので $m^2+n^2>0$ であり、$m=n$ が必要である。

逆に $m=n$ のとき$$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}\vec{a},\overrightarrow{OQ}=\frac{1}{2}(\vec{b}+\vec{c}),\overrightarrow{OR}=\frac{1}{2}\vec{c},\overrightarrow{OS}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$$であり、$$\overrightarrow{PS}=\frac{1}{2}\vec{b}=\overrightarrow{RQ}$$ となる。したがって4点は同一平面上にある。よって求める条件は $m=n$ である。

(2) (ii) $m=n$ のとき、$PQ$ と $RS$ は同じ中点をもつ。したがって交点 $G$ は$$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OQ})=\frac{1}{4}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})$$である。

(2) (iii) $G$ から各頂点までの距離を直接計算する。まず $$16G{O}^2=\mathrm{\mid }\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2=6$$ である。また $$4\overrightarrow{GA}=3\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}$$ だから$$16G{A}^2=\mathrm{\mid }3\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2=9+1+1+2(-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}+\frac{1}{2})=6$$である。同様に $16G{B}^2=16G{C}^2=6$ である。したがって $GO=GA=GB=GC$ となり、$G$ は正四面体 $OABC$ に外接する球の中心である。半径は ${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}$ である。

正四面体の各辺上の内分点

$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ を座標軸とみなす斜交座標で4点を表す。同一平面条件は3本の差ベクトルの行列式で判定し、$m=n$ の後は平行四辺形の対角線と正四面体の対称性を使う。

(1)

(1) (i)

内分点の斜交座標は$$P={\displaystyle \frac{1}{m+n}}(m,0,0),Q={\displaystyle \frac{1}{m+n}}(0,n,m),$$$$R={\displaystyle \frac{1}{m+n}}(0,0,n),S={\displaystyle \frac{1}{m+n}}(n,m,0)\mathrm{.}$$したがって$$\overrightarrow{PQ}={\displaystyle \frac{-m\vec{a}+n\vec{b}+m\vec{c}}{m+n}},\overrightarrow{RS}={\displaystyle \frac{n\vec{a}+m\vec{b}-n\vec{c}}{m+n}}\mathrm{.}$$(1)(ii)

正四面体では$$\mathrm{\mid }\vec{a}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{b}\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\vec{c}\mathrm{\mid }=1,\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{a}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$これを用いて内積を展開すると0となるので $PQ\perp RS$。

(2)

(2) (i)

4点が同一平面上にある条件は$$\det (Q-P,R-P,S-P)=0.$$分母 $(m+n{)}^3$ を除いた行列式は$$(n-m)(m^2+n^2)$$である。$m,n>0$ より $m^2+n^2>0$ なので$$m=n\mathrm{.}$$(2)(ii)

$m=n$ では $PQRS$ が平行四辺形になり、対角線の中点が $G$ である。よって$$\overrightarrow{OG}={\displaystyle \frac{1}{4}}(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})\mathrm{.}$$(2)(iii)$$16G{O}^2=\mathrm{\mid }\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2=6.$$また$$16G{A}^2=\mathrm{\mid }3\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2=6$$であり、対称性から $G{B}^2=G{C}^2=6\mathrm{/}16$ も成り立つ。よって $G$ は外接球中心で、半径は$${\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{4}}\mathrm{.}$$