九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 複素数平面・図形と方程式文系数学 第4問(b)

(1)
$\alpha =i$, $\theta ={90}^{\circ }$である。点$z$を点$i$のまわりに${90}^{\circ }$回転した点を$w$とすると $w=i+(z-i)i$ である。整理すると $w=iz+1+i=i(z+1-i)$ である。条件は$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }i\mathrm{\mid }\mathrm{/}2=1\mathrm{/}2$だから $\mathrm{\mid }z+1-i\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。したがって、条件を満たす点$z$の全体は $\text{中心 }-1+i,\text{半径 }{\displaystyle \frac{1}{2}}$ の円である。

(2) $$u=\cos \theta +i\sin \theta$$とおく。点$z$を点$\alpha$のまわりに$\theta$だけ回転した点は $w=\alpha +(z-\alpha )u$ である。条件は $$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }}{2}}$$ である。$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }=1$なので、両辺に$u^{-1}$を掛けても絶対値は変わらず $$\mathrm{\mid }z+\alpha (u^{-1}-1)\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }}{2}}$$ である。ここで $$u^{-1}=\cos \theta -i\sin \theta$$ だから $$-\alpha (u^{-1}-1)=\alpha (1-\cos \theta +i\sin \theta )$$ である。したがって軌跡は $$\mid z-\alpha (1-\cos \theta +i\sin \theta )\mid ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }}{2}}$$ で表される円である。中心は $\alpha (1-\cos \theta +i\sin \theta )$ 半径は ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }}{2}}$ である。

(3)
$\alpha$が0でない実数であるとする。このとき円の中心の実部は $\alpha (1-\cos \theta )$ であり、半径は$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }\mathrm{/}2$である。円が虚軸に接するための条件は、中心から虚軸までの距離が半径に等しいことであるから $$\mathrm{\mid }\alpha (1-\cos \theta )\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }}{2}}$$ である。$$0^{\circ }\leqq \theta <{360}^{\circ }$$では$1-\cos \theta \geqq 0$なので $1-\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$ すなわち $\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。よって $$\theta ={60}^{\circ },{300}^{\circ }$$ である。

回転を等長変換として逆向きにたどる。回転後の点 $w$ は原点中心・半径 $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }\mathrm{/}2$ の円上を動く。この円を中心 $\alpha$ のまわりに角 $-\theta$ だけ戻した像が $z$ の軌跡である。

回転後の点を $w$ とすると$$w=\alpha +e^{i\theta }(z-\alpha )$$である。逆に$$z=\alpha +e^{-i\theta }(w-\alpha )$$となる。

(1) $$\alpha =i,\theta ={90}^{\circ }$$ のとき、$w$ は中心0、半径 $1\mathrm{/}2$ の円を動く。逆変換でその中心は$$i-i{e}^{-i{90}^{\circ }}=-1+i$$へ移り、半径は変わらない。従って$$\mathrm{\mid }z+1-i\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(2)
一般に、$w$ の円の中心0は逆変換により$$\alpha -\alpha e^{-i\theta }=\alpha (1-\cos \theta +i\sin \theta )$$へ移る。回転は距離を保つから、軌跡は$$\mid z-\alpha (1-\cos \theta +i\sin \theta )\mid ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }}{2}}$$である。

(3)
$\alpha$ が0でない実数なら、中心から虚軸までの距離は$$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }(1-\cos \theta )$$である。これが半径 $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }\mathrm{/}2$ に等しいから$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$従って$$\theta ={60}^{\circ },{300}^{\circ }\mathrm{.}$$\Needspace{8cm}