九州大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)

点 $(1,2)$ を訪れるためには，最初の $3$ 回の取り出しで赤が $1$ 個，白が $2$ 個出ればよい。全体の取り出し順は，$2n$ 回のうち赤が出る $n$ 回を選ぶことで決まるので，全部で ${}_{2n}{\mathrm{C}}_n$ 通りである。

有利な場合を数える。最初の $3$ 回のうち赤の位置を $1$ つ選ぶ方法は ${}_3{\mathrm{C}}_1$ 通りである。残り $2n-3$ 回には，赤が $n-1$ 個，白が $n-2$ 個残るので，赤の位置を選ぶ方法は ${}_{2n-3}{\mathrm{C}}_{n-1}$ 通りである。したがって$$p_n(1,2)={\displaystyle \frac{{}_3{\mathrm{C}}_1{}_{2n-3}{\mathrm{C}}_{n-1}}{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}}\mathrm{.}$$これを整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_n(1,2)}& {\displaystyle =3\cdot {\displaystyle \frac{(2n-3)!}{(n-1)!(n-2)!}}\cdot {\displaystyle \frac{n!n!}{(2n)!}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =3\cdot {\displaystyle \frac{n}{4(2n-1)}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって $$p_n(1,2)={\displaystyle \frac{3n}{4(2n-1)}}$$ である。

(2)

点 $(k,l)$ を訪れるためには，最初の $k+l$ 回の取り出しで赤が $k$ 個，白が $l$ 個出ればよい。最初の $k+l$ 回における赤の位置の選び方は ${}_{k+l}{\mathrm{C}}_k$ 通りである。その後の $2n-k-l$ 回には，赤が $n-k$ 個，白が $n-l$ 個残るので，赤の位置の選び方は ${}_{2n-k-l}{\mathrm{C}}_{n-k}$ 通りである。

全体の場合の数は ${}_{2n}{\mathrm{C}}_n$ 通りなので$$p_n(k,l)={\displaystyle \frac{{}_{k+l}{\mathrm{C}}_k{}_{2n-k-l}{\mathrm{C}}_{n-k}}{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}}$$である。

(3)

(2) の式を変形して極限を調べる。$k,l$ は固定されているので，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_n(k,l)}& {\displaystyle ={}_{k+l}{\mathrm{C}}_k\cdot {\displaystyle \frac{(2n-k-l)!}{(n-k)!(n-l)!}}\cdot {\displaystyle \frac{n!n!}{(2n)!}}\mathrm{.}}\end{array}$$右側の比は，分子に $n$ から始まる $k$ 個の因子と $n$ から始まる $l$ 個の因子をもち，分母に $2n$ から始まる $k+l$ 個の因子をもつ。すなわち$${\displaystyle \frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)n(n-1)\cdots (n-l+1)}{(2n)(2n-1)\cdots (2n-k-l+1)}}$$である。各因子を $n$ で割って $n\to \mathrm{\infty }$ とすると，分子の各因子は $1$，分母の各因子は $2$ に近づく。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{(2n-k-l)!}{(n-k)!(n-l)!}}\cdot {\displaystyle \frac{n!n!}{(2n)!}}={\displaystyle \frac{1}{2^{k+l}}}\mathrm{.}$$よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}_n(k,l)={\displaystyle \frac{{}_{k+l}{\mathrm{C}}_k}{2^{k+l}}}$$である。

最初の $k+l$ 回だけを見る超幾何型の数え方を用いる。赤を取る順序と白を取る順序を選び、残数に応じた積で確率を直接表すと、固定した $k,l$ に対する極限も因子ごとに読める。

(2)
最初の $k+l$ 回で赤 $k$ 個、白 $l$ 個が出れば点 $(k,l)$ を訪れる。色の並べ方は$${}_{k+l}{\mathrm{C}}_k$$通りである。ある1つの並びの確率は$${\displaystyle \frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)n(n-1)\cdots (n-l+1)}{(2n)(2n-1)\cdots (2n-k-l+1)}}\mathrm{.}$$従って$$p_n(k,l)={}_{k+l}{\mathrm{C}}_k{\displaystyle \frac{(n{)}_k(n{)}_l}{(2n{)}_{k+l}}},$$ただし $$(r{)}_s=r(r-1)\cdots (r-s+1)$$ とした。これは組合せ表示$${\displaystyle \frac{{}_{k+l}{\mathrm{C}}_k{}_{2n-k-l}{\mathrm{C}}_{n-k}}{{}_{2n}{\mathrm{C}}_n}}$$と同じである。

(1)
$(k,l)=(1,2)$ を代入すると$$p_n(1,2)=3{\displaystyle \frac{n\cdot n(n-1)}{2n(2n-1)(2n-2)}}={\displaystyle \frac{3n}{4(2n-1)}}\mathrm{.}$$(3)
$k,l$ を固定して各因子を $n$ で割れば$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}_n(k,l)={\displaystyle \frac{{}_{k+l}{\mathrm{C}}_k}{2^{k+l}}}\mathrm{.}$$