九州大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験 確率・場合の数理系数学 第5問(a)

(1) $A$ の並べ方を固定して考えると，$B$ の並べ方は $5!$ 通りで等確率である。ちょうど $2$ 枚一致するには，まず一致する数字を $5$ 個の中から $2$ 個選ぶ。これは ${}_5{\mathrm{C}}_2$ 通りである。

残り $3$ 個の数字は，一つも元の位置に来てはいけない。$3$ 個の完全順列は$$3!-{}_3{\mathrm{C}}_{1}2!+{}_3{\mathrm{C}}_{2}1!-{}_3{\mathrm{C}}_{3}0!=6-6+3-1=2$$通りである。したがって$$P(X=2)={\displaystyle \frac{{}_5{\mathrm{C}}_2\cdot 2}{5!}}={\displaystyle \frac{20}{120}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\mathrm{.}$$(2) $X=k$ であるとき，一致している数字の集合は，対称性により $n$ 個の数字の中の $k$ 個の集合として等しく現れる。したがって，その中に数字 $1$ が含まれる確率は ${\displaystyle \frac{k}{n}}$ である。

数字 $1$ のカードが一致する確率を $p$ とすると，全確率の考え方により$$p=\sum _{k=1}^{n}P(\text{数字 }1\text{ が一致}\mid X=k)P(X=k)=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{k}{n}}P(X=k)\mathrm{.}$$よって $$a_k={\displaystyle \frac{k}{n}}(k=1,2,\dots ,n)$$ である。

(3)

数字 $1$ のカードが一致する確率は，$B$ の数字 $1$ が $n$ 個の位置のどこに来るかが等確率なので $p={\displaystyle \frac{1}{n}}$ である。一方，(2) より$${\displaystyle \frac{1}{n}}=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{k}{n}}P(X=k)\mathrm{.}$$両辺に $n$ を掛けると$$1=\sum _{k=1}^{n}kP(X=k)=E(X)\mathrm{.}$$したがって $E(X)=1$ である。

置換の固定点として数える。(1) は包含排除で残り3枚の完全順列を求める。(2)(3) は一致した組を二重に数え、各番号の一致を表す0・1変数の和として期待値を求める。

(1)
一致する2枚を選ぶ方法は ${}_5{\mathrm{C}}_2$ 通り。残る3枚がすべて不一致となる並べ方は包含排除により$$3!-{}_3{\mathrm{C}}_{1}2!+{}_3{\mathrm{C}}_{2}1!-{}_3{\mathrm{C}}_3=2.$$従って$$P(X=2)={\displaystyle \frac{{}_5{\mathrm{C}}_2\cdot 2}{5!}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\mathrm{.}$$(2)
$X=k$ のすべての場合を、一致した $k$ 個の番号で数える。対称性により数字1がその集合に入る割合は$${\displaystyle \frac{{}_{n-1}{\mathrm{C}}_{k-1}}{{}_n{\mathrm{C}}_k}}={\displaystyle \frac{k}{n}}\mathrm{.}$$従って $a_k=k\mathrm{/}n$。

(3)
番号 $r$ が一致したとき1となる変数を $I_r$ とすれば$$X=I_1+\cdots +I_n,E(I_r)={\displaystyle \frac{1}{n}}\mathrm{.}$$よって$$E(X)=n\cdot {\displaystyle \frac{1}{n}}=1.$$