九州大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 確率・場合の数文系数学 第4問(c)

(1)

全事象は、$2n$ 個の玉から2個を選ぶので ${}_{2n}{\mathrm{C}}_2$ 通りである。$X\leqq k$ とは、取り出した2個がどちらも $1,2,\dots ,k$ の数字をもつことである。そのような玉は $2k$ 個あるから$$P(X\leqq k)={\displaystyle \frac{{}_{2k}{\mathrm{C}}_2}{{}_{2n}{\mathrm{C}}_2}}={\displaystyle \frac{2k(2k-1)}{2n(2n-1)}}\mathrm{.}$$同様に、$Y\geqq k$ とは、取り出した2個がどちらも $k,k+1,\dots ,n$ の数字をもつことである。そのような玉は $2(n-k+1)$ 個あるから$$P(Y\geqq k)={\displaystyle \frac{{}_{2(n-k+1)}{\mathrm{C}}_2}{{}_{2n}{\mathrm{C}}_2}}={\displaystyle \frac{2(n-k+1)\{2(n-k+1)-1\}}{2n(2n-1)}}\mathrm{.}$$(2) $P(X=k)$ は、$X\leqq k$ から $X\leqq k-1$ を引けばよい。ただし $k=1$ でも同じ式で読める。よって $$P(X=k)={\displaystyle \frac{2k(2k-1)-2(k-1)(2k-3)}{2n(2n-1)}}={\displaystyle \frac{8k-6}{2n(2n-1)}}\mathrm{.}$$ また $$P(Y=k)=P(Y\geqq k)-P(Y\geqq k+1)$$ であるから $$P(Y=k)={\displaystyle \frac{2(n-k+1)\{2(n-k+1)-1\}-2(n-k)\{2(n-k)-1\}}{2n(2n-1)}}$$ となり、整理して $$P(Y=k)={\displaystyle \frac{8(n-k+1)-6}{2n(2n-1)}}$$ である。

(3) $n=4$ のとき、全事象は ${}_8{\mathrm{C}}_2=28$ 通りである。同じ数字を2個取る場合は $X-Y=0$ である。異なる数字 $i<j$ を取る場合、その組は玉の区別により4通りあり、差は $j-i$ である。したがって$$\sum (X-Y)=4\sum _{1\leqq i<j\leqq 4}(j-i)\mathrm{.}$$ここで $$\sum _{1\leqq i<j\leqq 4}(j-i)=(1+2+3)+(1+2)+1=10$$ であるから$$\sum (X-Y)=40$$である。よって $$E(X-Y)={\displaystyle \frac{40}{28}}={\displaystyle \frac{10}{7}}$$ である。

(4)

取り出した2個の玉の数字を、順序を気にせずそのまま足すと $X+Y$ である。したがって $E(X+Y)$ は、2個の玉の数字の和の期待値に等しい。

袋全体の数字の平均は、各数字が2個ずつあるので $${\displaystyle \frac{2(1+2+\cdots +n)}{2n}}={\displaystyle \frac{n+1}{2}}$$ である。2個同時に取り出しても、1個あたりの期待値はこの平均に等しいから $$E(X+Y)=2\cdot {\displaystyle \frac{n+1}{2}}=n+1$$ である。

累積分布を組合せで求め、確率質量は隣接する累積確率の差として出す。$n=4$ の期待値は尾和公式と $X+Y$ の対称性で計算し、一般の和の期待値は線形性で処理する。

全組合せ数は $${}_{2n}{\mathrm{C}}_2=n(2n-1)$$ である。

(1)

$X\leqq k$ は数字 $1,\dots ,k$ の計 $2k$ 個から2個を選ぶ事象であり、$Y\geqq k$ も同様に数字 $k,\dots ,n$ の $2(n-k+1)$ 個から選ぶ事象である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(X\leqq k)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{k(2k-1)}{n(2n-1)}},}\\ {\displaystyle P(Y\geqq k)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(n-k+1)(2n-2k+1)}{n(2n-1)}}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)

隣接する累積確率の差を取ると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(X=k)}& {\displaystyle =P(X\leqq k)-P(X\leqq k-1)={\displaystyle \frac{4k-3}{n(2n-1)}},}\\ {\displaystyle P(Y=k)}& {\displaystyle =P(Y\geqq k)-P(Y\geqq k+1)={\displaystyle \frac{4n-4k+1}{n(2n-1)}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)

$n=4$ のとき、数字を $j\mapsto 5-j$ と入れ替える対称性から $E(X+Y)=5$ である。また尾和公式より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E(X)}& {\displaystyle =\sum _{k=1}^{4}P(X\geqq k)=4-\sum _{j=1}^{3}P(X\leqq j)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4-{\displaystyle \frac{1+6+15}{28}}={\displaystyle \frac{45}{14}},}\\ {\displaystyle E(X-Y)}& {\displaystyle =2E(X)-E(X+Y)={\displaystyle \frac{10}{7}}\mathrm{.}}\end{array}$$(4)

2個の玉の数字を $U,V$ とすると、順序に関係なく $X+Y=U+V$ である。1個の数字の平均は $(n+1)\mathrm{/}2$ だから$$E(X+Y)=E(U)+E(V)=n+1.$$