九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)
まず $u(0)=m,v(0)=m$ であるから $$g(0)=v(0)-0\cdot u(0)=m>0$$ である。また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(1)}& {\displaystyle =v(1)-u(1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =({\int }_0^{1}tS(t)dt+m)-({\int }_0^{1}S(t)dt+m)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^1(t-1)S(t)dt}\end{array}$$である。$0\leqq t<1$で$t-1<0$、かつ$S(t)>0$なので $g(1)<0$ である。

さらに $$u^{\mathrm{\prime }}(x)=S(x),v^{\mathrm{\prime }}(x)=xS(x)$$ であるから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =v^{\mathrm{\prime }}(x)-\{u(x)+x{u}^{\mathrm{\prime }}(x)\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =xS(x)-u(x)-xS(x)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-u(x)}\end{array}$$である。ここで $$u(x)={\int }_0^{x}S(t)dt+m>0$$ だから $g^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ である。

(2)
$u(x)>0$なので $f(x)=x$ は $${\displaystyle \frac{v(x)}{u(x)}}=x$$ すなわち $v(x)-xu(x)=0$ と同値である。これは $g(x)=0$ と同じである。

(1)
より$g(0)>0$, $g(1)<0$であり、$g$は連続で狭義単調減少である。したがって$g(x)=0$を満たす$x$が$0<x<1$にただ1つ存在する。よって$f(x)=x$を満たす$x$もただ1つ存在する。

(3)
そのただ1つの値を$a$とする。$f$を微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{v^{\mathrm{\prime }}(x)u(x)-v(x)u^{\mathrm{\prime }}(x)}{u(x{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{xS(x)u(x)-v(x)S(x)}{u(x{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-{\displaystyle \frac{S(x)g(x)}{u(x{)}^2}}}\end{array}$$である。 $S(x)>0$, $u(x)>0$であり、$g$は$a$で0になる狭義単調減少関数である。したがって $$0<x<a\text{ では }g(x)>0,a<x\text{ では }g(x)<0$$ である。よって $$0<x<a\text{ では }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)<0,a<x\text{ では }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)>0$$ である。したがって$f(x)$は$x=a$で最小値をとる。このとき$f(a)=a$であるから、最小値は $a$ である。

差 $f(x)-x$ を直接積分で表す。分子 $g(x)$ は、$x$ を右へ動かすと既存の全重量に負の増分がかかるため狭義に減少する。固定点の前後で $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号が逆転することから最小値を得る。

$$g(x)=m(1-x)+{\int }_0^x(t-x)S(t)dt$$と書ける。

(1) $$g(0)=m>0,g(1)={\int }_0^1(t-1)S(t)dt<0.$$また $0\leqq x<y$ に対して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(y)-g(x)}& {\displaystyle =-(y-x)(m+{\int }_0^{x}S(t)dt)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_x^y(t-y)S(t)dt<0.}\end{array}$$従って $g$ は狭義単調減少である。微分可能性を用いれば同じことは$$g^{\mathrm{\prime }}(x)=-u(x)<0$$とも書ける。

(2) $$f(x)-x={\displaystyle \frac{v(x)-xu(x)}{u(x)}}={\displaystyle \frac{g(x)}{u(x)}}$$であり $u(x)>0$ である。$g(0)>0,g(1)<0$ と狭義単調性より、$g(x)=0$、従って $f(x)=x$ の解は $0<x<1$ にただ1つある。

(3)
その解を $a$ とする。商の微分から$$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{S(x)}{u(x)}}\{x-f(x)\}=-{\displaystyle \frac{S(x)g(x)}{u(x{)}^2}}\mathrm{.}$$$x<a$ では $g(x)>0$、$x>a$ では $g(x)<0$ なので、$f$ は $a$ まで減少し、その後増加する。従って$$\min f(x)=f(a)=a\mathrm{.}$$\Needspace{8cm}