九州大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験 複素数平面・図形と方程式理系数学 第4問(b)

(1)
$\alpha =i$, $\theta =\pi \mathrm{/}2$である。点$z$を点$i$のまわりに$\pi \mathrm{/}2$だけ回転した点を$w$とすると $w=i+(z-i)i=i(z+1-i)$ である。条件は$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }i\mathrm{\mid }\mathrm{/}2=1\mathrm{/}2$だから $\mathrm{\mid }z+1-i\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。したがって軌跡は、中心$-1+i$、半径$1\mathrm{/}2$の円である。

(2) $$u=\cos \theta +i\sin \theta$$とおく。回転後の点は $w=\alpha +(z-\alpha )u$ である。条件$\mathrm{\mid }w\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }\mathrm{/}2$において、$\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid }=1$であるから $$\mathrm{\mid }{u}^{-1}w\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }}{2}}$$ である。すなわち $$\mathrm{\mid }z+\alpha (u^{-1}-1)\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }}{2}}$$ である。ここで$$u^{-1}=\cos \theta -i\sin \theta$$だから $$\mid z-\alpha (1-\cos \theta +i\sin \theta )\mid ={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }}{2}}$$ となる。したがって軌跡は、中心 $\alpha (1-\cos \theta +i\sin \theta )$ 半径 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }}{2}}$ の円である。

(3)
$\alpha$が0でない実数であるとき、中心の実部は $\alpha (1-\cos \theta )$ であり、半径は$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }\mathrm{/}2$である。虚軸に接する条件は $$\mathrm{\mid }\alpha (1-\cos \theta )\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }}{2}}$$ である。$0\leqq \theta <2\pi$では$1-\cos \theta \geqq 0$だから $1-\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。よって $\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$ となり $$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}},{\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$$ である。

回転後の円を逆回転する等長変換として考える。中心0・半径 $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }\mathrm{/}2$ の円の逆像を求めれば、複素式の展開を最小限にして中心と半径が分かる。

回転後の点 $w$ は$$w=\alpha +e^{i\theta }(z-\alpha )$$だから$$z=\alpha +e^{-i\theta }(w-\alpha )\mathrm{.}$$(1)
$\alpha =i,\theta =\pi \mathrm{/}2$ のとき、中心0、半径 $1\mathrm{/}2$ の $w$ の円は、逆変換により中心$$i-i{e}^{-i\pi \mathrm{/}2}=-1+i$$へ移る。従って$$\mathrm{\mid }z+1-i\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(2)
一般の中心は$$\alpha -\alpha e^{-i\theta }=\alpha (1-\cos \theta +i\sin \theta ),$$半径は等長変換により $\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }\mathrm{/}2$ のままである。

(3)
$\alpha$ が0でない実数なら、中心から虚軸までの距離は$$\mathrm{\mid }\alpha \mathrm{\mid }(1-\cos \theta )\mathrm{.}$$半径と等しい条件から$$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}},$$従って$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{3}},{\displaystyle \frac{5\pi }{3}}\mathrm{.}$$\Needspace{8cm}