九州大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)

放物線を $y=x^2-2px$ とおくと、導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=2x-2p$ である。したがって、点 $(t,t^2-2pt)$ における接線は $y-(t^2-2pt)=2(t-p)(x-t)$ であり、整理して $y=2(t-p)x-t^2$ となる。これを $y$ 軸方向に $b$ だけ平行移動した直線は $$l(t,b):y=2(t-p)x-t^2+b$$ である。

(2)

放物線と直線の交点の $x$ 座標は $x^2-2px=2(t-p)x-t^2+b$ を満たす。左辺に集めると $x^2-2tx+t^2-b=0$ すなわち $(x-t{)}^2=b$ である。異なる2点で交わるには $b>0$ が必要で、このとき2解は $$x=t-\sqrt{b},t+\sqrt{b}$$ である。2つの $x$ 座標がともに正であるための条件は小さい方が正であること、すなわち $$t-\sqrt{b}>0$$ である。よって求める範囲は $$b>0,t>\sqrt{b}$$ または $$t>\sqrt{b}>0$$ である。

(3)

交点間では、直線の $y$ 座標から放物線の $y$ 座標を引くと $$\{2(t-p)x-t^2+b\}-(x^2-2px)=b-(x-t{)}^2$$ である。したがって囲まれる面積は $$S={\int }_{t-\sqrt{b}}^{t+\sqrt{b}}\{b-(x-t{)}^2\}dx$$ である。ここで $X=x-t$ とおくと $$S={\int }_{-\sqrt{b}}^{\sqrt{b}}(b-X^2)dX=2{\int }_0^{\sqrt{b}}(b-X^2)dX$$ となる。よって$$S=2{[bX-{\displaystyle \frac{X^3}{3}}]}_0^{\sqrt{b}}=2(b\sqrt{b}-{\displaystyle \frac{b\sqrt{b}}{3}})={\displaystyle \frac{4}{3}}b\sqrt{b}$$である。

(4)

(3) の被積分関数 $b-(x-t{)}^2$ は $x=t$ に関して対称である。実際、$X=x-t$ とおくと、左半分と右半分の面積は ${\int }_{-\sqrt{b}}^0(b-X^2)dX,{\int }_0^{\sqrt{b}}(b-X^2)dX$ で、偶関数の積分だから等しい。したがって面積を二等分する直線は対称軸 $x=t$ である。ゆえに $u=t$ である。

$x=t$ を中心に対称な交点と面積

交点の $x$ 座標を $\alpha ,\beta$ とおき、解と係数の関係で処理する。直線と放物線の差は根を用いて $-(x-\alpha )(x-\beta )$ と書けるため、面積と二等分線を根の差・中点から直接求める。

(1)

接点における接線は$$y-(t^2-2pt)=2(t-p)(x-t)$$である。これを $y$ 軸方向へ $b$ だけ移すと$$l(t,b):y=2(t-p)x-t^2+b$$となる。

(2)

放物線との交点の $x$ 座標を $\alpha ,\beta$ とする。両式を等置すると$$x^2-2tx+t^2-b=0$$だから$$\alpha +\beta =2t,\alpha \beta =t^2-b\mathrm{.}$$相異なる2根をもつには $b>0$、2根がともに正であるには和と積が正であることが必要十分である。よって$$t>0,0<b<t^2$$である。

(3)

直線と放物線の差は$$-(x-\alpha )(x-\beta )=(x-\alpha )(\beta -x)$$である。$$d=\beta -\alpha =2\sqrt{b}$$ とおき、$x=\alpha +du$ と変数変換すると$$S={\int }_{\alpha }^{\beta }(x-\alpha )(\beta -x)dx=d^3{\int }_0^{1}u(1-u)du={\displaystyle \frac{d^3}{6}}\mathrm{.}$$したがって$$S={\displaystyle \frac{(2\sqrt{b}{)}^3}{6}}={\displaystyle \frac{4}{3}}b\sqrt{b}\mathrm{.}$$(4)

面積密度 $(x-\alpha )(\beta -x)$ は中点 $(\alpha +\beta )\mathrm{/}2$ に関して対称である。したがって二等分線は$$x={\displaystyle \frac{\alpha +\beta }{2}}=t$$であり、$u=t$ である。