九州大学 1997年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)
$u=x+1$ とおくと、$x>-1$より$u>0$であり $$g(x)={\left({\displaystyle \frac{u}{c}}\right)}^u$$ である。対数をとって $$\log g=u\log {\displaystyle \frac{u}{c}}$$ とおく。これを$u$で微分すると $${\displaystyle \frac{d}{du}}(u\log {\displaystyle \frac{u}{c}})=\log {\displaystyle \frac{u}{c}}+1$$ である。したがって最小となるのは $$\log {\displaystyle \frac{u}{c}}=-1,u={\displaystyle \frac{c}{e}}$$ のときである。このとき $$\log g=-{\displaystyle \frac{c}{e}}$$ だから、最小値は $e^{-c\mathrm{/}e}$ である。

(2)
$b=1$とする。$x>0$において $f(x)=x^{a+1}{e}^{-x}$ は、微分により$x=a+1$で最大値 ${\left({\displaystyle \frac{a+1}{e}}\right)}^{a+1}$ をとる。これは(1)で$c=e$, $x=a$としたときの値であり、(1)の最小値より $${\left({\displaystyle \frac{a+1}{e}}\right)}^{a+1}\geqq e^{-1}$$ である。さらに $e^{-1}>{\displaystyle \frac{1}{5}}$ だから $M>{\displaystyle \frac{1}{5}}$ である。

(3)
全事象は、サイコロの目$a=1,2,3,4,5,6$とコインの数字$b=1,2$の組で、全部で12通りである。

まず$b=1$の6通りは、(2)よりすべて $M>{\displaystyle \frac{1}{5}}$ を満たす。

次に$b=2$を考える。$a$が奇数、すなわち$a=1,3,5$のとき、$a+1$は偶数であるから $f(-1)=(-1{)}^{a+1}{e}^2=e^2$ である。よってこの3通りは明らかに $M\geqq {\displaystyle \frac{1}{5}}$ を満たす。

残りは$a=2,4,6$である。このとき$-1\leqq x\leqq 0$では$x^{a+1}\leqq 0$なので、最大値は正の側で調べればよい。$x>0$での最大値は ${\left({\displaystyle \frac{a+1}{2e}}\right)}^{a+1}$ である。 $a=2$のときは $${\left({\displaystyle \frac{3}{2e}}\right)}^3<{\left({\displaystyle \frac{9}{16}}\right)}^3<{\displaystyle \frac{1}{5}}$$ である。ここでは$e>8\mathrm{/}3$を用いた。したがって$(a,b)=(2,2)$は条件を満たさない。 $a=4$のときは、$e<3$より $${\left({\displaystyle \frac{5}{2e}}\right)}^5>{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^5>{\displaystyle \frac{1}{5}}$$ である。$a=6$のときも $${\left({\displaystyle \frac{7}{2e}}\right)}^7>{\left({\displaystyle \frac{7}{6}}\right)}^7>{\displaystyle \frac{1}{5}}$$ である。したがって$b=2$では6通りのうち5通りが条件を満たす。

以上より条件を満たすのは $6+5=11$ 通りである。求める確率は ${\displaystyle \frac{11}{12}}$ である。

正の側の極大値と端点 $x=-1$ を分けて表にする。(1)の最小値評価を正の側の最大値へ適用し、$b=2$ では $a$ の偶奇ごとに端点と臨界点を比較する。

(1)
$u=x+1>0$ とおくと$$\log g=u\log {\displaystyle \frac{u}{c}}\mathrm{.}$$微分係数は $\log (u\mathrm{/}c)+1$ であり、$u=c\mathrm{/}e$ でだけ0になる。従って$$\min g=e^{-c\mathrm{/}e}\mathrm{.}$$(2)
$b=1$ のとき正の側の極大値は$$f(a+1)={\left({\displaystyle \frac{a+1}{e}}\right)}^{a+1}\mathrm{.}$$(1)で $c=e,x=a$ とすれば$${\left({\displaystyle \frac{a+1}{e}}\right)}^{a+1}\geqq e^{-1}>{\displaystyle \frac{1}{5}}\mathrm{.}$$従って定義域全体の最大値 $M$ も $1\mathrm{/}5$ より大きい。

(3)
$b=1$ の6通りはすべて適する。$b=2$ では、$a$ が奇数なら$$f(-1)=e^2>{\displaystyle \frac{1}{5}}$$なので3通りとも適する。偶数 $a=2,4,6$ では負の側は正の最大値を与えず、正の側の最大値は$${\left({\displaystyle \frac{a+1}{2e}}\right)}^{a+1}\mathrm{.}$$$e>8\mathrm{/}3$, $e<3$ を用いると$${\left({\displaystyle \frac{3}{2e}}\right)}^3<{\left({\displaystyle \frac{9}{16}}\right)}^3<{\displaystyle \frac{1}{5}},$$$${\left({\displaystyle \frac{5}{2e}}\right)}^5>{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^5>{\displaystyle \frac{1}{5}},{\left({\displaystyle \frac{7}{2e}}\right)}^7>{\left({\displaystyle \frac{7}{6}}\right)}^7>{\displaystyle \frac{1}{5}}\mathrm{.}$$不適なのは $(a,b)=(2,2)$ の1通りだけである。従って$$\text{確率}={\displaystyle \frac{11}{12}}\mathrm{.}$$