九州大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験 複素数平面・方程式・不等式文系数学 第4問(b)

(1)

与えられた3次式を因数分解すると $$x^3-(2k+1)x^2+(4k^2+2k)x-4k^2=(x-1)(x^2-2kx+4k^2)$$ である。したがって $x=1$ はこの方程式の解である。

(2)

2次方程式 $x^2-2kx+4k^2=0$ の解は $$x=k\pm \sqrt{k^2-4k^2}=k\pm \sqrt{-3k^2}$$ である。$k>0$ より $$z_1=1,z_2=k+\sqrt{3}ki,z_3=k-\sqrt{3}ki$$ とおける。複素数平面では、これらは $(1,0),(k,\sqrt{3}k),(k,-\sqrt{3}k)$ である。後の2点は直線 $x=k$ 上にあるので、3点が一直線上にあるには $(1,0)$ もこの直線上になければならない。よって $k=1$ である。

(3)

3点は $x$ 軸に関して対称であり、$\mathrm{\mid }{z}_2-z_1\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{z}_3-z_1\mathrm{\mid }$ である。したがって直角三角形になるなら、直角は $(1,0)$ にある。2つのベクトル $(k-1,\sqrt{3}k),(k-1,-\sqrt{3}k)$ の内積が0になればよいから $(k-1{)}^2-3k^2=0$ である。整理すると $2k^2+2k-1=0$ であり、$k>0$ より $$k={\displaystyle \frac{-1+\sqrt{3}}{2}}$$ である。

(4)

原点中心の正六角形の頂点になるには、6点がすべて原点から同じ距離になければならない。$\mathrm{\mid }{z}_1\mathrm{\mid }=1$、また $$\mathrm{\mid }{z}_2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }{z}_3\mathrm{\mid }=\sqrt{k^2+3k^2}=2k$$ であるから $2k=1$ すなわち $k=\frac{1}{2}$ である。

このとき、回転前の3点の偏角は $0^{\circ },{60}^{\circ },-{60}^{\circ }$ である。これらを ${90}^{\circ }$ 回転すると ${90}^{\circ },{150}^{\circ },{30}^{\circ }$ となり、共役な点の偏角は ${270}^{\circ },{210}^{\circ },{330}^{\circ }$ となる。これは原点中心の正六角形の6頂点である。$$0^{\circ }\leqq \theta \leqq {180}^{\circ }$$ で重なりなく60度間隔にするにはこの配置に限られるので $\theta ={90}^{\circ }$ である。

実軸に関して対称な3根の配置

3根を座標に直し、一直線条件は三角形の面積、直角条件は3辺の長さの2乗、正六角形条件は原点からの距離と偏角の集合で判定する。

3次式は$$(x-1)(x^2-2kx+4k^2)$$と因数分解できる。したがって3点は$$(1,0),(k,\sqrt{3}k),(k,-\sqrt{3}k)$$である。

(1)

$x=1$ を代入すれば0になるので、常に解である。

(2)

3点が作る三角形の面積の2倍は$$\mid \mid \begin{array}{cc}k-1& \sqrt{3}k\\ k-1& -\sqrt{3}k\end{array}\mid \mid =2\sqrt{3}\mathrm{\mid }k(k-1)\mathrm{\mid }\mathrm{.}$$よって一直線条件は $k=0,1$ である。文系では $k>0$ なので$$k=1.$$(3)

対称な2辺の長さの2乗は$$L^2=(k-1{)}^2+3k^2,$$底辺の長さの2乗は $12k^2$ である。直角三角形になるには底辺が斜辺で$$12k^2=2L^2$$となればよい。整理すると$$2k^2+2k-1=0.$$$k>0$ より$$k={\displaystyle \frac{\sqrt{3}-1}{2}}\mathrm{.}$$(4)

正六角形の頂点は原点から等距離なので$$1=2k$$が必要で、$k=1\mathrm{/}2$ である。このとき3根の偏角は$$0,{\displaystyle \frac{\pi }{3}},-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}\mathrm{.}$$$\theta =\pi \mathrm{/}2$ だけ回転すると偏角は$${\displaystyle \frac{\pi }{2}},{\displaystyle \frac{5\pi }{6}},{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$となり、共役な3点と合わせて60度間隔の6点になる。したがって$$k={\displaystyle \frac{1}{2}},\theta ={90}^{\circ }$$である。