九州大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 確率文系数学 第4問(a)

公平なコインのうち、$i$ 番目のものが箱に入るとき1、入らないとき0をとる確率変数を $Y_i$ とする。また、歪んだコインについて同様の確率変数を $Z$ とする。このとき $X=Y_1+Y_2+\cdots +Y_n+Z$ である。公平なコイン1枚が箱に入る確率は $${\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ であり、歪んだコインが箱に入る確率は ${\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n$ である。

(1) $n=2$ のとき、公平なコインは2枚であり、歪んだコインが箱に入る確率は $${\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2={\displaystyle \frac{9}{16}}$$ である。どのコインも箱に入らない確率は$${(1-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2(1-{\displaystyle \frac{9}{16}})={\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2\cdot {\displaystyle \frac{7}{16}}={\displaystyle \frac{63}{256}}$$である。したがって $$P(X\geqq 1)=1-{\displaystyle \frac{63}{256}}={\displaystyle \frac{193}{256}}$$ である。

期待値は和の期待値で計算できるので $$E(X)=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{9}{16}}={\displaystyle \frac{17}{16}}$$ である。

(2)
一般の $n$ について、どの公平なコインも入らない確率は $(3\mathrm{/}4{)}^n$ である。また、歪んだコインが入らない確率は $1-(3\mathrm{/}4{)}^n$ である。よって$$P(X\geqq 1)=1-{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n\{1-{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n\}$$である。 $$x={\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n$$ とおくと、求める条件は $$1-x(1-x)>{\displaystyle \frac{13}{16}}$$ すなわち $x^2-x+{\displaystyle \frac{3}{16}}>0$ である。これは $$(x-{\displaystyle \frac{1}{4}})(x-{\displaystyle \frac{3}{4}})>0$$ と同値である。$n\geqq 1$ では $0<x\leqq 3\mathrm{/}4$ だから、厳密に不等式を満たすには $x<{\displaystyle \frac{1}{4}}$ が必要十分である。すなわち $${\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n<{\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。$${\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^4={\displaystyle \frac{81}{256}}>{\displaystyle \frac{1}{4}},{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^5={\displaystyle \frac{243}{1024}}<{\displaystyle \frac{1}{4}}$$なので、最小の $n$ は $5$ である。

(3)
期待値は $$E(X)=n\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}+{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n$$ である。

分散については、独立な確率変数の和なので分散の和をとればよい。公平なコイン1枚に対応する $Y_i$ の分散は $${\displaystyle \frac{1}{4}}(1-{\displaystyle \frac{1}{4}})={\displaystyle \frac{3}{16}}$$ である。歪んだコインに対応する $Z$ の分散は ${\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n\{1-{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n\}$ である。したがって$$V(X)=n\cdot {\displaystyle \frac{3}{16}}+{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{2n}$$である。

箱へ入る枚数の確率母関数を作る。
定数項から $P(X=0)$、1階・2階微分から期待値と分散を同時に読む。

公平なコイン1枚が箱へ入る確率は $1\mathrm{/}4$ である。
歪んだコインが入る確率を$$p={\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n$$とおく。独立性より $X$ の確率母関数は$$G(s)={({\displaystyle \frac{3}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}s)}^n(1-p+ps)\mathrm{.}$$(1)
$n=2,p=9\mathrm{/}16$ のとき$$P(X=0)=G(0)={\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2{\displaystyle \frac{7}{16}}={\displaystyle \frac{63}{256}}\mathrm{.}$$従って$$P(X\geqq 1)={\displaystyle \frac{193}{256}},E(X)=G^{\mathrm{\prime }}(1)={\displaystyle \frac{17}{16}}\mathrm{.}$$(2)$$P(X\geqq 1)=1-p(1-p)\mathrm{.}$$これが $13\mathrm{/}16$ より大きい条件は$$(p-{\displaystyle \frac{1}{4}})(p-{\displaystyle \frac{3}{4}})>0.$$$0<p\leqq 3\mathrm{/}4$ なので $p<1\mathrm{/}4$ が必要十分である。$${\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^4>{\displaystyle \frac{1}{4}},{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^5<{\displaystyle \frac{1}{4}}$$より最小の $n$ は $5$ である。

(3)
母関数を微分するか、各ベルヌーイ変数の和として$$E(X)={\displaystyle \frac{n}{4}}+{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n,$$$$V(X)={\displaystyle \frac{3n}{16}}+{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^{2n}\mathrm{.}$$