九州大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験 複素数平面・方程式・不等式理系数学 第5問(b)

(1)

二次方程式 $x^2+2kx+3k=0$ の判別式は $$D=(2k{)}^2-4\cdot 3k=4k(k-3)$$ である。$\alpha \mathrm{\ne }\beta$ であるから $k=0,3$ は除かれる。

解と係数の関係より $$\alpha +\beta =-2k,\alpha \beta =3k$$ である。

まず $k<0$ または $k>3$ のとき，$\alpha ,\beta$ は相異なる実数である。このとき $$\mathrm{\mid }\alpha -i{\mathrm{\mid }}^2={\alpha }^2+1,\mathrm{\mid }\beta -i{\mathrm{\mid }}^2={\beta }^2+1$$ なので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\alpha -i{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\beta -i{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle ={\alpha }^2+{\beta }^2+2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(\alpha +\beta {)}^2-2\alpha \beta +2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4k^2-6k+2.}\end{array}$$次に $0<k<3$ のとき，$\alpha ,\beta$ は共役な虚数である。$\alpha =u+vi$，$\beta =u-vi$ とおくと $u^2+v^2=\alpha \beta =3k\mathrm{.}$ したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mathrm{\mid }\alpha -i{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\beta -i{\mathrm{\mid }}^2}& {\displaystyle =\{u^2+(v-1{)}^2\}+\{u^2+(-v-1{)}^2\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2u^2+2v^2+2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\alpha \beta +2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =6k+2.}\end{array}$$よって$$\mathrm{\mid }\alpha -i{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\beta -i{\mathrm{\mid }}^2=\{\begin{array}{ll}4k^2-6k+2& (k<0\text{ または }k>3),\\ 6k+2& (0<k<3)\end{array}$$である。

(2)

複素数平面上の点を $A(\alpha ),B(\beta ),P(i)$ とする。$\mathrm{\angle }APB={90}^{\circ }$ であることは，三平方の定理より $$\mathrm{\mid }\alpha -i{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\beta -i{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\beta -\alpha {\mathrm{\mid }}^2$$ と同値である。

実数解の場合，すなわち $k<0$ または $k>3$ のときは$$\mathrm{\mid }\beta -\alpha {\mathrm{\mid }}^2=(\beta -\alpha {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta =4k^2-12k\mathrm{.}$$よって $4k^2-6k+2=4k^2-12k$ となり，$6k+2=0$ より $k=-{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$ これは $k<0$ を満たすので適する。

虚数解の場合，すなわち $0<k<3$ のときは，$\alpha =u+vi,\beta =u-vi$ とおくと $$\mathrm{\mid }\beta -\alpha {\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }-2vi{\mathrm{\mid }}^2=4v^2\mathrm{.}$$ また $u=-k$，$u^2+v^2=3k$ だから $v^2=3k-k^2\mathrm{.}$ したがって $$\mathrm{\mid }\beta -\alpha {\mathrm{\mid }}^2=12k-4k^2\mathrm{.}$$ よって $6k+2=12k-4k^2$ すなわち $2k^2-3k+1=0$ である。これを解くと $(k-1)(2k-1)=0$ より $k=1,{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$ どちらも $0<k<3$ を満たす。

以上より $$k=-{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{2}},1$$ である。

直角条件を、複素数を平面ベクトルとみた内積0に置き換える。判別式により実根と共役虚根に分け、解と係数の関係だけで距離と内積を計算する。

判別式は $4k(k-3)$ で、$k=0,3$ は除外される。

(1)
実根の場合 $k<0$ または $k>3$ で、$$\mathrm{\mid }\alpha -i{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\beta -i{\mathrm{\mid }}^2={\alpha }^2+{\beta }^2+2=4k^2-6k+2.$$$0<k<3$ では $$\alpha =-k+vi,\beta =-k-vi$$,$$v^2=3k-k^2\mathrm{.}$$従って距離平方和は$$2k^2+2(v^2+1)=6k+2.$$(2)
直角条件は$$\mathrm{\mid }\alpha -i{\mathrm{\mid }}^2+\mathrm{\mid }\beta -i{\mathrm{\mid }}^2=\mathrm{\mid }\alpha -\beta {\mathrm{\mid }}^2\mathrm{.}$$実根の場合は右辺 $4k^2-12k$ なので $k=-1\mathrm{/}3$。
共役虚根の場合は右辺 $4v^2=12k-4k^2$ なので$$6k+2=12k-4k^2,$$すなわち $(k-1)(2k-1)=0$。従って$$k=-{\displaystyle \frac{1}{3}},{\displaystyle \frac{1}{2}},1.$$