九州大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1)

番号 $k$ の箱が選ばれる確率は ${\displaystyle \frac{1}{n}}$ である。この箱には白のボールが $k$ 個、黒のボールが $n+1-k$ 個入っており、全部で $n+1$ 個である。したがって1回の操作で白が出る確率は ${\displaystyle \frac{k}{n+1}}$ であり、黒が出る確率は ${\displaystyle \frac{n+1-k}{n+1}}$ である。

同じ箱で $r$ 回繰り返し、白がちょうど $i$ 回出る確率は$${}_r{\mathrm{C}}_i{\left({\displaystyle \frac{k}{n+1}}\right)}^i{\left({\displaystyle \frac{n+1-k}{n+1}}\right)}^{r-i}$$である。したがって、番号 $k$ の箱が選ばれ、かつ $T=i$ となる確率は$${\displaystyle \frac{1}{n}}{}_r{\mathrm{C}}_i{\left({\displaystyle \frac{k}{n+1}}\right)}^i{\left({\displaystyle \frac{n+1-k}{n+1}}\right)}^{r-i}$$である。

(2) $T=i$ となるには、選ばれた箱番号 $k$ が $1$ から $n$ までのいずれかである。これらは互いに排反なので、(1)を $k$ について足せばよい。よって$$P(T=i)={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n{}_r{\mathrm{C}}_i{\left({\displaystyle \frac{k}{n+1}}\right)}^i{\left({\displaystyle \frac{n+1-k}{n+1}}\right)}^{r-i}$$である。

(3)

(2) の和を考える。$n\to \mathrm{\infty }$ のとき、$k\mathrm{/}(n+1)$ は区間 $[0,1]$ の分割点のように動くので、区分求積により$$P(T=i)\to {}_r{\mathrm{C}}_i{\int }_0^1{x}^i(1-x{)}^{r-i}dx$$である。

この積分を求める。部分積分を繰り返すと、非負整数 $i$、$r-i$ について$${\int }_0^1{x}^i(1-x{)}^{r-i}dx={\displaystyle \frac{i!(r-i)!}{(r+1)!}}$$である。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(T=i)={}_r{\mathrm{C}}_i{\displaystyle \frac{i!(r-i)!}{(r+1)!}}$$である。ここで $${}_r{\mathrm{C}}_i={\displaystyle \frac{r!}{i!(r-i)!}}$$ だから$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(T=i)={\displaystyle \frac{r!}{(r+1)!}}={\displaystyle \frac{1}{r+1}}$$である。

(3) で二項式を展開し、整数のべき和の最高次項$$\sum _{k=1}^n{k}^s\sim n^{s+1}\mathrm{/}(s+1)$$を用いる。
区分求積とは別の有限和の計算として極限を求める。

(1)
箱 $k$ を選ぶ確率は $1\mathrm{/}n$、その後の白の確率は $k\mathrm{/}(n+1)$ だから$${\displaystyle \frac{1}{n}}{}_r{\mathrm{C}}_i{\left({\displaystyle \frac{k}{n+1}}\right)}^i{\left({\displaystyle \frac{n+1-k}{n+1}}\right)}^{r-i}\mathrm{.}$$(2)
箱番号について足して$$P(T=i)={\displaystyle \frac{1}{n}}{}_r{\mathrm{C}}_i\sum _{k=1}^n{\left({\displaystyle \frac{k}{n+1}}\right)}^i{(1-{\displaystyle \frac{k}{n+1}})}^{r-i}\mathrm{.}$$(3)
二項展開により$$k^i(n+1-k{)}^{r-i}=\sum _{j=0}^{r-i}(-1{)}^j{}_{r-i}{\mathrm{C}}_j(n+1{)}^{r-i-j}{k}^{i+j}\mathrm{.}$$また固定した $s$ に対し$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^{s+1}}}\sum _{k=1}^n{k}^s={\displaystyle \frac{1}{s+1}}\mathrm{.}$$これを各項へ用いると$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(T=i)={}_r{\mathrm{C}}_i\sum _{j=0}^{r-i}{\displaystyle \frac{(-1{)}^j{}_{r-i}{\mathrm{C}}_j}{i+j+1}}\mathrm{.}$$右の有限和は$${\int }_0^1{x}^i(1-x{)}^{r-i}dx={\displaystyle \frac{i!(r-i)!}{(r+1)!}}$$に等しい。よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }P(T=i)={}_r{\mathrm{C}}_i{\displaystyle \frac{i!(r-i)!}{(r+1)!}}={\displaystyle \frac{1}{r+1}}\mathrm{.}$$