九州大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 確率・場合の数文系数学 第4問(b)

(1)

7回のうち、3の目が3回、5の目が2回出ている。残り2回の目は3でも5でもない。

残り2回の目がどちらも3より小さい場合、並べると4番目は3になる。残り2回の目の一方または両方が4で、5より小さい位置に入る場合、4番目は3または4になり得る。残り2回の目がどちらも5より大きい場合には、並びは $3,3,3,5,5,\dots$ の形になるので4番目は5になる。

したがって $X_4$ のとりうる値は $3,4,5$ である。

(2) $X_1$ は出た目の最小値である。$X_1=2$ となるのは、すべての目が2以上であり、かつすべての目が3以上ではないときである。よって $$P(X_1=2)=P(X_1\geqq 2)-P(X_1\geqq 3)$$ である。各回は独立なので$$P(X_1\geqq 2)={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n,P(X_1\geqq 3)={\left({\displaystyle \frac{4}{6}}\right)}^n$$である。したがって $$P(X_1=2)={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{4}{6}}\right)}^n$$ である。

(3)

正の整数値をとる確率変数について$$E(X_1)=\sum _{k=1}^{6}P(X_1\geqq k)$$が成り立つ。ここで $X_1\geqq k$ は、すべての目が $k$ 以上であることを意味するから $$P(X_1\geqq k)={\left({\displaystyle \frac{7-k}{6}}\right)}^n$$ である。したがって$$E(X_1)=\sum _{k=1}^6{\left({\displaystyle \frac{7-k}{6}}\right)}^n=\sum _{j=1}^6{\left({\displaystyle \frac{j}{6}}\right)}^n$$である。

(4)

出た目をすべて $j\mapsto 7-j$ に置き換えると、サイコロの各目の出やすさは変わらない。この対応では、最小値 $X_1$ は $7-X_n$ に対応する。したがって期待値も等しく $$E(X_1)=E(7-X_n)=7-E(X_n)$$ である。よって $$E(X_1+X_n)=E(X_1)+E(X_n)=7$$ である。

最小値の分布 $P(X_1=j)$ を直接求め、期待値の和を
差の形で整理する。最大値も同様に分布から求め、
2つの期待値を足して7になることを計算で確認する。

(1)
残り2個を例えば $(1,2)$、$(4,4)$、$(6,6)$ とすれば、
それぞれ $X_4=3,4,5$ となる。3個の3と2個の5が既にあるので、
これ以外の値は4番目にはならない。よって $3,4,5$ である。

(2)
全て2以上の場合から全て3以上の場合を除いて$$P(X_1=2)={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{4}{6}}\right)}^n\mathrm{.}$$(3)
一般に$$P(X_1=j)={\left({\displaystyle \frac{7-j}{6}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{6-j}{6}}\right)}^n(1\leqq j\leqq 6)\mathrm{.}$$よって差の和を整理すると$$E(X_1)=\sum _{j=1}^{6}jP(X_1=j)=\sum _{k=1}^6{\left({\displaystyle \frac{k}{6}}\right)}^n\mathrm{.}$$(4)
同様に$$P(X_n=j)={\left({\displaystyle \frac{j}{6}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{j-1}{6}}\right)}^n\mathrm{.}$$したがって$$E(X_n)=6-\sum _{k=1}^5{\left({\displaystyle \frac{k}{6}}\right)}^n\mathrm{.}$$一方$$E(X_1)=1+\sum _{k=1}^5{\left({\displaystyle \frac{k}{6}}\right)}^n\mathrm{.}$$両者を足して $E(X_1+X_n)=7$ である。