九州大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 確率・場合の数理系数学 第4問(b)

(1)

3の目が3回、5の目が2回出ている。残り2回の目は3でも5でもない。残りの目が小さい側に入れば4番目は3になり、4が入れば4番目が4になる場合があり、残りの目が大きい側に入れば4番目は5になる。したがって $X_4=3,4,5$ がすべて起こり得る値である。

(2) $X_1=2$ は、すべての目が2以上で、しかもすべての目が3以上ではないことを意味する。よって $$P(X_1=2)=P(X_1\geqq 2)-P(X_1\geqq 3)$$ であり、$$P(X_1=2)={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{4}{6}}\right)}^n$$ である。

(3) $X_1$ は1から6までの整数値をとるので$$E(X_1)=\sum _{k=1}^{6}P(X_1\geqq k)$$である。また $X_1\geqq k$ は、$n$ 回すべてで $k$ 以上の目が出ることだから $$P(X_1\geqq k)={\left({\displaystyle \frac{7-k}{6}}\right)}^n$$ である。したがって$$E(X_1)=\sum _{j=1}^6{\left({\displaystyle \frac{j}{6}}\right)}^n$$である。

(4)

(3) より$$E(X_1)-1=\sum _{j=1}^5{\left({\displaystyle \frac{j}{6}}\right)}^n$$である。この和の最大項は $(5\mathrm{/}6{)}^n$ であるから $${\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n\leqq E(X_1)-1\leqq 5{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n$$ である。自然対数をとると $$n\log {\displaystyle \frac{5}{6}}\leqq \log (E(X_1)-1)\leqq \log 5+n\log {\displaystyle \frac{5}{6}}$$ である。全体を $n$ で割って $n\to \mathrm{\infty }$ とすると、はさみうちより$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\log (E(X_1)-1)=\log {\displaystyle \frac{5}{6}}$$である。

(5)

出た目をすべて $j\mapsto 7-j$ に置き換えると、各結果の起こりやすさは変わらない。この対応で最小値 $X_1$ は $7-X_n$ に移る。したがって $$E(X_1)=E(7-X_n)=7-E(X_n)$$ である。よって $E(X_1+X_n)=7$ である。

最小値の確率質量関数を直接書いて期待値を差の和として整理する。
極限では最大項をくくり出し、残りの比が1へ収束することから
対数の極限を求める。最大値も直接分布から計算する。

(1)
残り2個を $(1,2)$、$(4,4)$、$(6,6)$ とすれば
$X_4=3,4,5$ が実現する。他の値は既存の3個の3と2個の5により
4番目には来ない。よって答えは $3,4,5$ である。

(2) $$P(X_1=2)={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{4}{6}}\right)}^n\mathrm{.}$$(3)$$P(X_1=j)={\left({\displaystyle \frac{7-j}{6}}\right)}^n-{\left({\displaystyle \frac{6-j}{6}}\right)}^n\mathrm{.}$$これを $j=1,\dots ,6$ で期待値へ代入し、差をまとめると$$E(X_1)=\sum _{k=1}^6{\left({\displaystyle \frac{k}{6}}\right)}^n\mathrm{.}$$(4)$$E(X_1)-1={\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^n\{1+{\left({\displaystyle \frac{4}{5}}\right)}^n+\cdots +{\left({\displaystyle \frac{1}{5}}\right)}^n\}\mathrm{.}$$波括弧内は1へ収束するから、その対数を $n$ で割ったものは0へ収束する。
よって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}\log (E(X_1)-1)=\log {\displaystyle \frac{5}{6}}\mathrm{.}$$(5)
最大値について同様に整理すると$$E(X_n)=6-\sum _{k=1}^5{\left({\displaystyle \frac{k}{6}}\right)}^n\mathrm{.}$$(3)の式は$$E(X_1)=1+\sum _{k=1}^5(k\mathrm{/}6{)}^n$$だから、
$E(X_1+X_n)=7$ である。