九州大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $$P=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$$ とおく。点 $A(1,0)$、$B(2,0)$ に対して $$AP=\sqrt{(r\cos \theta -1{)}^2+r^2{\sin }^2\theta }=\sqrt{r^2-2r\cos \theta +1}$$ であり、$$BP=\sqrt{(r\cos \theta -2{)}^2+r^2{\sin }^2\theta }=\sqrt{r^2-4r\cos \theta +4}$$ である。

角 $OPA$ は、点 $P$ から見た $PO$ と $PA$ のなす角である。ベクトルを用いると$$\overrightarrow{PO}=(-r\cos \theta ,-r\sin \theta ),\overrightarrow{PA}=(1-r\cos \theta ,-r\sin \theta )$$なので$$\cos \mathrm{\angle }OPA={\displaystyle \frac{\overrightarrow{PO}\cdot \overrightarrow{PA}}{\mathrm{\mid }PO\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }PA\mathrm{\mid }}}={\displaystyle \frac{r^2-r\cos \theta }{r\sqrt{r^2-2r\cos \theta +1}}}={\displaystyle \frac{r-\cos \theta }{\sqrt{r^2-2r\cos \theta +1}}}$$である。同様に $$\cos \mathrm{\angle }OPB={\displaystyle \frac{r-2\cos \theta }{\sqrt{r^2-4r\cos \theta +4}}}$$ である。

(2) $\theta$ を固定し、半直線 $l$ 上で $r$ を動かす。関数 $L(r)=AP+BP$ を考えると $$L(r)=\sqrt{r^2-2r\cos \theta +1}+\sqrt{r^2-4r\cos \theta +4}$$ である。微分すると $$L^{\mathrm{\prime }}(r)={\displaystyle \frac{r-\cos \theta }{AP}}+{\displaystyle \frac{r-2\cos \theta }{BP}}$$ である。これは(1)の結果より $$L^{\mathrm{\prime }}(r)=\cos \mathrm{\angle }OPA+\cos \mathrm{\angle }OPB$$ である。$L(r)$ は十分大きい $r$ で増加し、最小点では微分係数が0になる。したがって必要十分条件は $$\cos \mathrm{\angle }OPA+\cos \mathrm{\angle }OPB=0$$ である。

(3)
(2)の条件は $${\displaystyle \frac{r-\cos \theta }{AP}}=-{\displaystyle \frac{r-2\cos \theta }{BP}}$$ である。両辺を2乗して $$(r-\cos \theta {)}^{2}B{P}^2=(r-2\cos \theta {)}^{2}A{P}^2$$ を得る。ここに $$A{P}^2=r^2-2r\cos \theta +1,B{P}^2=r^2-4r\cos \theta +4$$ を代入して整理すると $$(3r-4\cos \theta )(r^2-4r\cos \theta +2+2{\cos }^2\theta )=0$$ となる。後ろの因子は $$(r-2\cos \theta {)}^2+2(1-{\cos }^2\theta )>0$$ であるから $r={\displaystyle \frac{4}{3}}\cos \theta$ である。

(4)
(3)より$$x=r\cos \theta ={\displaystyle \frac{4}{3}}{\cos }^2\theta ,y=r\sin \theta ={\displaystyle \frac{4}{3}}\sin \theta \cos \theta$$である。したがって $$y^2={\displaystyle \frac{16}{9}}{\sin }^2\theta {\cos }^2\theta ={\displaystyle \frac{4}{3}}x-x^2$$ である。よって $${(x-{\displaystyle \frac{2}{3}})}^2+y^2={\displaystyle \frac{4}{9}}$$ を得る。 $$0^{\circ }<\theta \leqq {90}^{\circ }$$ では $\sin \theta >0$ または端点で0、$\cos \theta \geqq 0$ であるから、軌跡はこの円の上半分で、$$0\leqq x<{\displaystyle \frac{4}{3}},y\geqq 0$$ にある部分である。$\theta \to 0^{\circ }+$ では点は $(4\mathrm{/}3,0)$ に近づくが、その点は含まれない。$\theta ={90}^{\circ }$ では原点 $(0,0)$ になる。

直線 $l$ に関して $A$ を反転した点を $A^{\mathrm{\prime }}$ とする。
$AP=A^{\mathrm{\prime }}P$ なので、$AP+BP$ の最小化は折れ線を直線へ伸ばす問題になる。

(1) $$P=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$$ と内積公式から$$\cos \mathrm{\angle }OPA={\displaystyle \frac{r-\cos \theta }{\sqrt{r^2-2r\cos \theta +1}}},$$$$\cos \mathrm{\angle }OPB={\displaystyle \frac{r-2\cos \theta }{\sqrt{r^2-4r\cos \theta +4}}}\mathrm{.}$$(2)
$A$ を $l$ に関して反転した点を $A^{\mathrm{\prime }}$ とする。
$P\in l$ では $AP=A^{\mathrm{\prime }}P$ だから$$AP+BP=A^{\mathrm{\prime }}P+PB\geqq A^{\mathrm{\prime }}B\mathrm{.}$$等号は $A^{\mathrm{\prime }},P,B$ が一直線上に並ぶときである。これは入射角と反射角が
等しい条件であり、向きを余弦で表すと$$\cos \mathrm{\angle }OPA+\cos \mathrm{\angle }OPB=0.$$(3)$$A^{\mathrm{\prime }}=(\cos 2\theta ,\sin 2\theta ),B=(2,0)\mathrm{.}$$直線 $A^{\mathrm{\prime }}B$ と $l$ の交点を$$P=r(\cos \theta ,\sin \theta )$$ として2直線の行列式を解くと$$r={\displaystyle \frac{4}{3}}\cos \theta \mathrm{.}$$(4)$$x={\displaystyle \frac{4}{3}}{\cos }^2\theta ,y={\displaystyle \frac{4}{3}}\sin \theta \cos \theta$$より$${(x-{\displaystyle \frac{2}{3}})}^2+y^2={\displaystyle \frac{4}{9}}\mathrm{.}$$軌跡はこの円の上半分で、原点は含み $(4\mathrm{/}3,0)$ は含まない。