九州大学 2000年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
放物線 $y=x^2$ の $x=u$ における接線の傾きは $2u$ である。したがって $u\mathrm{\ne }0$ のとき法線の傾きは $-1\mathrm{/}(2u)$ であり、法線は $y-u^2=-{\displaystyle \frac{1}{2u}}(x-u)$ である。両辺を整理すると $x+2uy-u-2u^3=0$ となり、この形は $u=0$ のときにも法線 $x=0$ を表している。

ここで $u_1=t-1,u_2=t+1$ とする。2本の法線は $$x+2(t-1)y-(t-1)-2(t-1{)}^3=0$$ および $$x+2(t+1)y-(t+1)-2(t+1{)}^3=0$$ である。2式を引くと $$4y-2-2\{(t+1{)}^3-(t-1{)}^3\}=0$$ である。 $(t+1{)}^3-(t-1{)}^3=6t^2+2$ だから $4y-2-12t^2-4=0$ より $y=3t^2+{\displaystyle \frac{3}{2}}$ である。これを一方の法線へ代入すると $x=4t(1-t^2)$ となる。したがって $$Q=(4t(1-t^2),3t^2+{\displaystyle \frac{3}{2}})$$ である。

(2) $0\leqq t\leqq 1$ である。$t=0$ のとき $$Q=(0,{\displaystyle \frac{3}{2}})$$ であり、$t=1$ のとき $$Q=(0,{\displaystyle \frac{9}{2}})$$ である。また $x(t)=4t(1-t^2)$ は $x^{\mathrm{\prime }}(t)=4(1-3t^2)$ を満たすので、$t=1\mathrm{/}\sqrt{3}$ で最大となる。このとき $$x={\displaystyle \frac{8}{3\sqrt{3}}},y={\displaystyle \frac{5}{2}}$$ である。したがって軌跡は $(0,3\mathrm{/}2)$ から右へふくらみ、$(8\mathrm{/}(3\sqrt{3}),5\mathrm{/}2)$ で最も右に出て、$(0,9\mathrm{/}2)$ に戻る曲線である。

(3)
軌跡と $y$ 軸で囲まれる領域を $y$ 軸のまわりに回転するので、断面半径を $x$ として$$V=\pi \int x^{2}dy$$である。媒介変数 $t$ を用いると $$x=4t(1-t^2),{\displaystyle \frac{dy}{dt}}=6t$$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^1\{4t(1-t^2){\}}^2\cdot 6tdt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =96\pi {\int }_0^1{t}^3(1-t^2{)}^{2}dt}\end{array}$$である。$s=t^2$ とおくと $t^{3}dt=sds\mathrm{/}2$ なので $$V=48\pi {\int }_0^{1}s(1-s{)}^{2}ds$$ である。計算して$${\int }_0^{1}s(1-s{)}^{2}ds={\int }_0^1(s-2s^2+s^3)ds={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{12}}$$だから $V=4\pi$ である。

2本の法線から媒介表示を得た後、$t$ を消去して軌跡の陰関数表示も作る。
回転体は高さ $y$ の円板で積分する。

(1)
$y=x^2$ の $x=u$ における法線は$$x+2uy-u-2u^3=0.$$$u=t-1,t+1$ の2式を連立すると$$Q=(4t(1-t^2),3t^2+{\displaystyle \frac{3}{2}})\mathrm{.}$$(2)$$t^2={\displaystyle \frac{2y-3}{6}},1-t^2={\displaystyle \frac{9-2y}{6}}$$だから、媒介変数を消去すると$$x^2={\displaystyle \frac{2}{27}}(2y-3)(9-2y{)}^2,{\displaystyle \frac{3}{2}}\leqq y\leqq {\displaystyle \frac{9}{2}},x\geqq 0.$$端点は $(0,3\mathrm{/}2),(0,9\mathrm{/}2)$ であり、
$t=1\mathrm{/}\sqrt{3}$ のとき$$(x,y)=({\displaystyle \frac{8}{3\sqrt{3}}},{\displaystyle \frac{5}{2}})$$で最も右へ張り出す。

(3)
高さ $y$ の断面は半径 $x$ の円板なので$$V=\pi {\int }_{3\mathrm{/}2}^{9\mathrm{/}2}{x}^{2}dy\mathrm{.}$$$u=2y-3$ とおけば $9-2y=6-u$ で$$V={\displaystyle \frac{\pi }{27}}{\int }_0^{6}u(6-u{)}^{2}du=4\pi \mathrm{.}$$