九州大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 図形と方程式・複素数平面理系数学 第5問(b)

(1) $$C_1:r=2\cos (\pi +\theta )=-2\cos \theta$$ である。両辺に $r$ を掛けると $r^2=-2r\cos \theta$ であり、$x=r\cos \theta$、$r^2=x^2+y^2$ より $x^2+y^2=-2x$ である。すなわち $(x+1{)}^2+y^2=1$ で、中心 $(-1,0)$、半径1の円である。

一方 $C_2:r=2(1+\cos \theta )$ である。交点では $$-2\cos \theta =2(1+\cos \theta )$$ だから $\cos \theta =-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。与えられた範囲 $\pi \mathrm{/}2<\theta <3\pi \mathrm{/}2$ では $$\theta ={\displaystyle \frac{2\pi }{3}},\theta ={\displaystyle \frac{4\pi }{3}}$$ であり、このとき $r=-2\cos \theta =1$ である。したがって交点の極座標は $(1,{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}),(1,{\displaystyle \frac{4\pi }{3}})$ である。

(2)
点 $E$ は極座標 $(1,0)$ なので $OE=1$ である。三角形 $OE{P}_1$ と $O{P}_{2}Q$ が相似で、$OE$ に対応する辺が $O{P}_2$、$O{P}_1$ に対応する辺が $OQ$ であるから $${\displaystyle \frac{OQ}{O{P}_1}}={\displaystyle \frac{O{P}_2}{OE}}=r_2$$ である。よって $OQ=r_1{r}_2$ である。

また、向きも込めて $\mathrm{\angle }EO{P}_1={\theta }_1$ であり、これが $\mathrm{\angle }{P}_{2}OQ$ に等しいので、$Q$ の偏角は ${\theta }_2+{\theta }_1$ である。したがって $$P_1\ast P_2=(r_1{r}_2,{\theta }_1+{\theta }_2)$$ である。

(3) $P_1$、$P_2$ を原点から出るベクトルと見れば、平行四辺形 $O{P}_{1}R{P}_2$ の点 $R$ はベクトル和 $$\overrightarrow{OR}=\overrightarrow{O{P}_1}+\overrightarrow{O{P}_2}$$ である。$r_1=r_2=r$ なので、2つの同じ長さのベクトルの和は、偏角の平均方向を向く。長さは余弦定理、または二等辺三角形から $2r\mid \cos {\displaystyle \frac{{\theta }_1-{\theta }_2}{2}}\mid$ である。

したがって、$\cos {\displaystyle \frac{{\theta }_1-{\theta }_2}{2}}\geqq 0$ の表示では$$P_1\circ P_2=(2r\cos {\displaystyle \frac{{\theta }_1-{\theta }_2}{2}},{\displaystyle \frac{{\theta }_1+{\theta }_2}{2}})$$である。もしこの余弦が負になる表示を用いる場合は、距離を正にするため偏角を $\pi$ だけ加えればよい。

(4)
交点の一つを $$V=(1,{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})$$ とする。もう一つを選んでも同じ結果になる。まず(2)より $$V\ast V=(1,{\displaystyle \frac{4\pi }{3}})$$ である。次に(3)より、偏角 $2\pi \mathrm{/}3$ と $4\pi \mathrm{/}3$ の単位ベクトルの和は、負の $x$ 軸方向の長さ1のベクトルである。したがって $V\circ (V\ast V)=(1,\pi )$ である。

点 $k(V\circ (V\ast V))$ を考える。$k>0$ のとき、この点の極座標は $(k,\pi )$ である。これが $C_1$ 上にあるには $k=-2\cos \pi =2$ が必要十分である。$k=0$ では原点であり、与えられた $C_1$ の交点としては現れない。$k<0$ のときは点は正の $x$ 軸上に移るが、円 $(x+1{)}^2+y^2=1$ は正の $x$ 軸上の正の点を含まない。したがって条件は $k=2$ である。

点を複素数 $r{e}^{i\theta }$ と同一視する。
$\ast$ は複素数の積、$\circ$ は和になるため、(2)以降を代数演算で一括する。

(1) $$C_1:r=-2\cos \theta$$なので$$x^2+y^2=-2x,(x+1{)}^2+y^2=1.$$$C_2$ は $r=2(1+\cos \theta )$ のカージオイドである。
交点では$$-2\cos \theta =2(1+\cos \theta )$$より$$(r,\theta )=(1,{\displaystyle \frac{2\pi }{3}}),(1,{\displaystyle \frac{4\pi }{3}})\mathrm{.}$$(2)
$P_j$ に対応する複素数を $z_j=r_j{e}^{i{\theta }_j}$ とする。
相似比と有向角の和から$$P_1\ast P_2⟷z_1{z}_2\mathrm{.}$$従って極座標は$$(r_1{r}_2,{\theta }_1+{\theta }_2)\mathrm{.}$$(3)
平行四辺形の第4頂点は $z_1+z_2$ である。$r_1=r_2=r$ なら$$z_1+z_2=2r\cos {\displaystyle \frac{{\theta }_1-{\theta }_2}{2}}{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)\mathrm{/}2}\mathrm{.}$$半径を正にする必要があれば偏角へ $\pi$ を加える。

(4)
交点の一つを $v=e^{2\pi i\mathrm{/}3}$ とすると$$v\ast v=v^2=e^{4\pi i\mathrm{/}3},v\circ (v\ast v)=v+v^2=-1.$$従って対象点は $-k$ である。円 $C_1$ の条件は$$\mathrm{\mid }-k+1\mathrm{\mid }=1,$$従って $k=0,2$ である。ただし $k=0$ は
$\pi \mathrm{/}2<\theta <3\pi \mathrm{/}2$ のパラメータ範囲では $C_1$ に含まれない。
よって$$k=2.$$