九州大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 行列（問題が明示的に行列を扱う場合、または出題範囲が許す場合のみ）・方程式・不等式理系数学 第5問(c)

(1)
3次単位行列の第1行の $-2$ 倍を第3行に加えるので$$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -2& 0& 1\end{array}\right)$$である。この操作の逆は、第1行の2倍を第3行に加える操作である。したがって$$Q=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 2& 0& 1\end{array}\right)$$であり、実際に $QP=E$ となる。

(2)
左から $P$ を掛けることは、第3行を $\text{第3行}-2\times \text{第1行}$ に置き換えることである。したがって$$S=PR=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_3& a_4\\ b_1& b_2& b_3& b_4\\ c_1-2a_1& c_2-2a_2& c_3-2a_3& c_4-2a_4\end{array}\right)$$である。

(3) $PAX=PB$ が成り立つとする。両辺に左から $Q$ を掛けると $QPAX=QPB$ である。(1)より $QP=E$ だから $AX=B$ となる。したがって $PAX=PB$ を満たす $X$ は、もとの $AX=B$ も満たす。

(4)
係数行列を$$A=\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ -3& 4& -5\\ 6& -5& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$$とする。左から $P$ を掛けると、第3行から第1行の2倍を引くので$$PA=\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ -3& 4& -5\\ 0& -1& 2\end{array}\right),PB=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c-2a\end{array}\right)$$である。したがって連立方程式は$$\{\begin{array}{l}3x-2y+z=a,\\ -3x+4y-5z=b,\\ -y+2z=c-2a\end{array}$$である。

(5)
(4)で得た連立方程式をさらに掃き出す。第1式と第2式を加えると $2y-4z=a+b$ すなわち $$y-2z={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$$ である。一方、第3式は $-y+2z=c-2a$ であり、これは $y-2z=2a-c$ と同値である。したがって解をもつためには $${\displaystyle \frac{a+b}{2}}=2a-c$$ が必要である。整理して $b+2c=3a$ である。

この条件が成り立つとき、$z=t$ とおく。第3式から $y=2z-(c-2a)=2t+2a-c$ である。条件 $b+2c=3a$ を用いると $$2a-c={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$$ なので $$y={\displaystyle \frac{a+b}{2}}+2t$$ である。第1式 $3x-2y+z=a$ に代入すると $$3x-2({\displaystyle \frac{a+b}{2}}+2t)+t=a$$ であり、$3x=2a+b+3t$ となる。したがって $$x={\displaystyle \frac{2a+b}{3}}+t$$ である。

よって解をもつための条件は $b+2c=3a$ であり、この条件が成り立つときの解は $$(x,y,z)=({\displaystyle \frac{2a+b}{3}}+t,{\displaystyle \frac{a+b}{2}}+2t,t)$$ である。ただし $t$ は任意の実数である。

$P$ を第3行から第1行の2倍を引く基本行列として扱う。
最後は拡大係数行列を掃き出し、零行が与える整合条件と自由変数を読む。

(1)
逆操作は第3行へ第1行の2倍を加えることなので$$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -2& 0& 1\end{array}\right),Q=P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 2& 0& 1\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)$$PR=\left(\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& a_3& a_4\\ b_1& b_2& b_3& b_4\\ c_1-2a_1& c_2-2a_2& c_3-2a_3& c_4-2a_4\end{array}\right)\mathrm{.}$$(3)
$PAX=PB$ の両辺へ $Q=P^{-1}$ を左から掛ければ $AX=B$ である。

(4)
第3式から第1式の2倍を引いて$$\{\begin{array}{l}3x-2y+z=a,\\ -3x+4y-5z=b,\\ -y+2z=c-2a\mathrm{.}\end{array}$$(5)
第1行と第2行を加え、第3行と比べると$$y-2z={\displaystyle \frac{a+b}{2}},y-2z=2a-c\mathrm{.}$$従って整合条件は$$b+2c=3a\mathrm{.}$$この条件のもとで $z=t$ とすれば$$(x,y,z)=({\displaystyle \frac{2a+b}{3}}+t,{\displaystyle \frac{a+b}{2}}+2t,t)(t\in \mathbb{R})\mathrm{.}$$