九州大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)

楕円 $${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$$ の上半分は $$y=b\sqrt{1-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}}$$ で表される。これで囲まれた図形を $x$ 軸のまわりに回転すると、断面は半径 $y$ の円になるから、体積は$$\pi {\int }_{-a}^a{y}^{2}dx=\pi {\int }_{-a}^a{b}^2(1-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}})dx$$である。計算すると$$\pi b^2{[x-{\displaystyle \frac{x^3}{3a^2}}]}_{-a}^a=\pi b^2(2a-{\displaystyle \frac{2a}{3}})={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi a{b}^2$$である。

(2)

接点 $P(s,t)$ は楕円上にあるので $${\displaystyle \frac{s^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{t^2}{b^2}}=1$$ である。楕円の $(s,t)$ における接線は $${\displaystyle \frac{sx}{a^2}}+{\displaystyle \frac{ty}{b^2}}=1$$ である。この直線の $x$ 切片は ${\displaystyle \frac{a^2}{s}}$ であり、$y$ 切片は ${\displaystyle \frac{b^2}{t}}$ である。

この接線と座標軸でできる三角形を $x$ 軸のまわりに回転すると、高さ $a^2\mathrm{/}s$、底面半径 $b^2\mathrm{/}t$ の円錐ができる。その体積は ${\displaystyle \frac{1}{3}}\pi {\left({\displaystyle \frac{b^2}{t}}\right)}^2{\displaystyle \frac{a^2}{s}}$ である。

一方、楕円の第1象限部分と座標軸で囲まれる部分を $x$ 軸のまわりに回転した体積は、(1)の全体の半分であるから ${\displaystyle \frac{2}{3}}\pi a{b}^2$ である。したがって求める体積は$$V={\displaystyle \frac{\pi }{3}}{\displaystyle \frac{a^2}{s}}{\left({\displaystyle \frac{b^2}{t}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi a{b}^2$$である。

(3)

接点 $P$ が第1象限の楕円上を動くので $$s=a\cos \theta ,t=b\sin \theta ,0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ とおける。(2)の式に代入すると$$V={\displaystyle \frac{\pi }{3}}{\displaystyle \frac{a^2}{a\cos \theta }}\cdot {\displaystyle \frac{b^4}{b^2{\sin }^2\theta }}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi a{b}^2$$である。よって $$V={\displaystyle \frac{\pi a{b}^2}{3}}({\displaystyle \frac{1}{\cos \theta {\sin }^2\theta }}-2)$$ となる。

したがって $V$ を最小にするには、$\cos \theta {\sin }^2\theta$ を最大にすればよい。$u=\cos \theta$ とおくと $0<u<1$ であり、$$\cos \theta {\sin }^2\theta =u(1-u^2)$$ である。この関数を $H(u)$ とすると $H^{\mathrm{\prime }}(u)=1-3u^2$ である。よって最大は $u={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$ で生じ、そのとき $$H(u)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}(1-{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{3}}}$$ である。

したがって $${\displaystyle \frac{1}{\cos \theta {\sin }^2\theta }}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$$ となり、最小値は $$V_{\min }={\displaystyle \frac{\pi a{b}^2}{3}}({\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}-2)$$ である。また $$\cos \theta ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}},\sin \theta =\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}$$ だから、そのときの接点は $$P=({\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}},b\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}})$$ である。

(1) は単位球を座標方向に $a,b,b$ 倍した立体として体積を得る。
(3)は微分を使わず、$u=s\mathrm{/}a,v=t\mathrm{/}b$ と置いて
$u^2+v^2=1$ の下で $u{v}^2$ を相加相乗平均で最大化する。

(1)
楕円の回転体は$${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2+z^2}{b^2}}\leqq 1$$で表される。単位球を $x$ 方向に $a$ 倍、
$y,z$ 方向に各 $b$ 倍した立体だから、体積は$$a{b}^2\cdot {\displaystyle \frac{4\pi }{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}\pi a{b}^2\mathrm{.}$$(2)
接線は$${\displaystyle \frac{sx}{a^2}}+{\displaystyle \frac{ty}{b^2}}=1$$で、切片は $a^2\mathrm{/}s,b^2\mathrm{/}t$ である。
接線三角形を回転した円錐から楕円体の半分を引くので$$V={\displaystyle \frac{\pi }{3}}{\displaystyle \frac{a^2}{s}}{\left({\displaystyle \frac{b^2}{t}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{2}{3}}\pi a{b}^2\mathrm{.}$$(3)
$u=s\mathrm{/}a,v=t\mathrm{/}b$ とおくと $u,v>0,u^2+v^2=1$ で$$V={\displaystyle \frac{\pi a{b}^2}{3}}({\displaystyle \frac{1}{u{v}^2}}-2)\mathrm{.}$$相加相乗平均より$${\displaystyle \frac{u^2+{\displaystyle \frac{v^2}{2}}+{\displaystyle \frac{v^2}{2}}}{3}}\geqq \sqrt[3]{{\displaystyle \frac{u^2{v}^4}{4}}}\mathrm{.}$$左辺は $1\mathrm{/}3$ だから$$u{v}^2\leqq {\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$等号は $u^2=v^2\mathrm{/}2$、すなわち$$u=1\mathrm{/}\sqrt{3},v=\sqrt{2\mathrm{/}3}$$ のときである。よって$$V_{\min }={\displaystyle \frac{\pi a{b}^2}{3}}({\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}-2),P=({\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}},b\sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}})\mathrm{.}$$