九州大学 2001年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $y=tx$ とおく。$x>0,y>0$ なので、$x^y=y^x$ の両辺の自然対数をとると $y\log x=x\log y$ である。$y=tx$ を代入すると $tx\log x=x\log (tx)$ である。$x>0$ で割って $t\log x=\log t+\log x$ となる。したがって $(t-1)\log x=\log t$ である。$t\mathrm{\ne }1$ だから $$\log x={\displaystyle \frac{\log t}{t-1}}$$ であり、$x(t)=t^{1\mathrm{/}(t-1)}$ である。また $y=tx$ より $$y(t)=t\cdot t^{1\mathrm{/}(t-1)}=t^{t\mathrm{/}(t-1)}$$ である。

(2)

まず $$\log y(t)={\displaystyle \frac{t\log t}{t-1}}$$ である。$t\to 0+$ のとき $t\log t\to 0$、かつ $t-1\to -1$ なので $\log y(t)\to 0$ である。したがって$$\alpha =\underset{t\to 0}{\lim }y(t)=1$$である。

次に $t\to 1$ を考える。 $${\displaystyle \frac{t\log t}{t-1}}=t\cdot {\displaystyle \frac{\log t}{t-1}}$$ であり、$\log t)\mathrm{/}(t-1)\to 1$、$t\to 1$ だから $\log y(t)\to 1$ である。よって$$\beta =\underset{t\to 1}{\lim }y(t)=e$$である。

(3)

まず $$\log x(t)={\displaystyle \frac{\log t}{t-1}}$$ である。これを微分すると$${\displaystyle \frac{d}{dt}}\log x(t)={\displaystyle \frac{(t-1)\mathrm{/}t-\log t}{(t-1{)}^2}}={\displaystyle \frac{t-1-t\log t}{t(t-1{)}^2}}$$である。$t>0$ では分母は正である。分子を $A(t)=t-1-t\log t$ とおくと、$A(1)=0$ であり $A^{\mathrm{\prime }}(t)=-\log t$ である。$0<t<1$ では $A^{\mathrm{\prime }}(t)>0$ で、$t=1$ に向かって増加して0になるから $A(t)<0$ である。$t>1$ では $A^{\mathrm{\prime }}(t)<0$ で、$t=1$ から減少するからやはり $A(t)<0$ である。したがって $x(t)$ は $t$ の増加とともに減少する。

一方 $$\log y(t)={\displaystyle \frac{t\log t}{t-1}}$$ を微分すると $${\displaystyle \frac{d}{dt}}\log y(t)={\displaystyle \frac{t-1-\log t}{(t-1{)}^2}}$$ である。分子を $B(t)=t-1-\log t$ とおくと、$B(1)=0$、$$B^{\mathrm{\prime }}(t)=1-{\displaystyle \frac{1}{t}}={\displaystyle \frac{t-1}{t}}$$ である。よって $0<t<1$ では $B$ は減少して $B(1)=0$ に至るので $B(t)>0$、$t>1$ では増加して $B(t)>0$ である。したがって $y(t)$ は $t$ の増加とともに増加する。

つまり $t$ が増えると、曲線 $C$ 上の点は $x$ 座標が減少し、$y$ 座標が増加する。よって $y=g(x)$ は $x$ が増えると減少する関数である。したがって $g(x)$ は単調に減少する。

$t=y\mathrm{/}x$ の媒介表示に加え、交換対称性
$(x(t),y(t))=(y(1\mathrm{/}t),x(1\mathrm{/}t))$ を利用する。
$\log t<t-1$ と $\log t>1-1\mathrm{/}t$ の基本不等式から
座標の単調性を判定する。

(1)
$y=tx$ を $y\log x=x\log y$ に代入すると$$(t-1)\log x=\log t\mathrm{.}$$よって$$x(t)=t^{1\mathrm{/}(t-1)},y(t)=t^{t\mathrm{/}(t-1)}\mathrm{.}$$(2)$$\log y(t)={\displaystyle \frac{t\log t}{t-1}}\mathrm{.}$$$t\to 0+$ では $t\log t\to 0$ なので $\alpha =1$。
$t\to 1$ では $\log t\mathrm{/}(t-1)\to 1$ なので $\beta =e$ である。

(3) $${\displaystyle \frac{d}{dt}}\log x(t)={\displaystyle \frac{t-1-t\log t}{t(t-1{)}^2}}\mathrm{.}$$$\log t>1-1\mathrm{/}t$（等号は $t=1$ のみ）より分子は負で、
$x(t)$ は減少する。また$${\displaystyle \frac{d}{dt}}\log y(t)={\displaystyle \frac{t-1-\log t}{(t-1{)}^2}}\mathrm{.}$$$\log t<t-1$ よりこれは正で、$y(t)$ は増加する。
したがって媒介変数 $t$ が増えると点は左上へ動き、
$y=g(x)$ は $x$ に関して単調減少する。

なお $x(1\mathrm{/}t)=y(t)$、$y(1\mathrm{/}t)=x(t)$ であり、
曲線が直線 $y=x$ に関して対称であることとも整合する。