九州大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2a{x}^2+2(a+b)x+b+1$ である。$f(x)$ がすべての実数でつねに増加するための必要十分条件は、すべての実数 $x$ について $f^{\mathrm{\prime }}(x)\geqq 0$ となることである。

まず $a=0$ のとき、$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2bx+b+1$ である。これが全実数で非負となるには傾きが0でなければならないので $b=0$ である。このとき $f^{\mathrm{\prime }}(x)=1$ で条件を満たす。

次に $a>0$ のとき、2次式が全実数で非負となるには判別式が0以下であればよい。判別式を4で割ったものは $$(a+b{)}^2-2a(b+1)=a^2+b^2-2a$$ である。よって条件は $a^2+b^2-2a\leqq 0$ すなわち $(a-1{)}^2+b^2\leqq 1$ である。この条件は $a=0$ の場合には $b=0$ だけを含む。したがって求める範囲は $(a-1{)}^2+b^2\leqq 1$ であり、$ab$ 平面では中心 $(1,0)$、半径1の円の内部および周である。

(2) $a=0$ のとき $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2bx+b+1$ である。$u=x+1$ とおくと、$x>-1$ は $u>0$ であり、$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2b(u-1)+b+1=2bu+1-b$$ となる。

もし $b<0$ なら、$u\to \mathrm{\infty }$ で $2bu+1-b$ は負になるので不可である。$b\geqq 0$ のとき、この式は $u$ について増加または一定であり、$u\to 0+$ での値は $1-b$ に近づく。したがって全ての $u>0$ で非負となる条件は $1-b\geqq 0$ である。よって $0\leqq b\leqq 1$ である。

(3) $u=x+1$ とおくと $u>0$ であり、$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2a(u-1{)}^2+2(a+b)(u-1)+b+1$$ $=2a{u}^2+2(b-a)u+1-b$ となる。この2次式を $Q(u)$ とおく。 $a<0$ なら、$u\to \mathrm{\infty }$ で $Q(u)\to -\mathrm{\infty }$ となるため条件を満たさない。$a=0$ のときは(2)より $0\leqq b\leqq 1$ である。

以下 $a>0$ とする。$Q(u)$ の頂点の $u$ 座標は $$u={\displaystyle \frac{a-b}{2a}}$$ である。まず $b\geqq a$ のとき、頂点は $u\leqq 0$ 側にあるので、$u>0$ での最小は $u\to 0+$ の近くで決まる。したがって必要十分条件は $1-b\geqq 0$ であり、$0<a\leqq b\leqq 1$ を得る。

次に $b<a$ のとき、頂点は $u>0$ にあるので、頂点での値が非負であることが必要十分である。すなわち $1-b-{\displaystyle \frac{(b-a{)}^2}{2a}}\geqq 0$ である。$a>0$ だから整理して $2a(1-b)-(b-a{)}^2\geqq 0$ $2a-a^2-b^2\geqq 0$ すなわち $(a-1{)}^2+b^2\leqq 1$ である。

以上より、求める条件は $0<a\leqq b\leqq 1$ または $$a>0,b<a,(a-1{)}^2+b^2\leqq 1$$ に、$a=0,0\leqq b\leqq 1$ を合わせたものである。まとめて書けば、$ab$ 平面で、線分 $a=0,0\leqq b\leqq 1$、三角形部分 $0<a\leqq b\leqq 1$、および円 $(a-1{)}^2+b^2\leqq 1$ のうち $a>0,b<a$ の部分を合わせた範囲である。

導関数を平方完成し、全実数上または半直線上での最小値を直接読む。
(3)では $u=x+1$ として、頂点が $u>0$ にあるかどうかを
$b<a$ と $b\geqq a$ で分ける。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2a{x}^2+2(a+b)x+b+1.$$$a<0$ なら両端で負になり、$a=0$ なら全実数で非負となるのは
$b=0$ のときだけである。$a>0$ では$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2a{(x+{\displaystyle \frac{a+b}{2a}})}^2{\displaystyle \frac{2a-a^2-b^2}{2a}}\mathrm{.}$$よって必要十分条件は $2a-a^2-b^2\geqq 0$ である。
$a=0,b=0$ も含めると$$(a-1{)}^2+b^2\leqq 1$$となる。

(2)
$a=0$ では、$u=x+1>0$ とおくと$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2bu+1-b\mathrm{.}$$$b<0$ なら $u\to \mathrm{\infty }$ で負になる。$b\geqq 0$ では
下端 $u\to 0+$ での極限 $1-b$ が非負であることが必要十分だから、$$0\leqq b\leqq 1$$である。

(3) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=Q(u)=2a{u}^2+2(b-a)u+1-b,u=x+1>0.$$$a<0$ は不可、$a=0$ は(2)の線分である。$a>0$ とする。
$b\geqq a$ なら頂点は $u\leqq 0$ にあるので、
$u>0$ での下限は $Q(0)=1-b$ である。したがって$$0<a\leqq b\leqq 1.$$$b<a$ なら頂点 $u=(a-b)\mathrm{/}(2a)>0$ で$$\min Q=1-b-{\displaystyle \frac{(a-b{)}^2}{2a}}={\displaystyle \frac{2a-a^2-b^2}{2a}}\mathrm{.}$$よって$$a>0,b<a,(a-1{)}^2+b^2\leqq 1.$$以上に $a=0,0\leqq b\leqq 1$ を加えた範囲が答えである。