九州大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
例えば $f(x)=2(2x^2-1{)}^2-1$ とする。これは $x^2$ だけで表されるので偶関数であり、グラフは直線 $x=0$ に関して対称である。また $f(1)=2(2-1{)}^2-1=1$ である。

極値を確認する。展開すると $f(x)=8x^4-8x^2+1$ であり、$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=32x^3-16x=16x(2x^2-1)$$ である。したがって極値をとる点は $$x=0,x=\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ である。値は $$f(0)=1,f(\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})=-1$$ であり、極値はすべて絶対値が1である。

さらに $f(x)=0$ は $2(2x^2-1{)}^2=1$ すなわち $$2x^2-1=\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$$ である。これから $-1<x<1$ に相異なる4個の解が得られる。よってこの $f(x)$ は条件を満たす。

(2) $$d=\sqrt{2-\sqrt{2}}$$ とおき、$$g(x)=(x-{\displaystyle \frac{1-d}{2}})(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})(x-{\displaystyle \frac{1+d}{2}})$$とする。このとき3つの零点は $$p_1={\displaystyle \frac{1-d}{2}},p_2={\displaystyle \frac{1}{2}},p_3={\displaystyle \frac{1+d}{2}}$$ である。$0<d<1$ なので $0<p_1<p_2<p_3<1$ が成り立つ。 $u=x-1\mathrm{/}2$ とおくと $$g(x)=u(u^2-{\displaystyle \frac{d^2}{4}})$$ であり、$u=0$ に関して奇関数の形である。したがって左右対称性から $S_1=S_4,S_2=S_3$ である。

端の面積と中央の面積を比べる。原始関数は ${\displaystyle \frac{u^4}{4}}-{\displaystyle \frac{d^2{u}^2}{8}}$ である。計算すると $$S_1={\displaystyle \frac{(1-d^2{)}^2}{64}},S_2={\displaystyle \frac{d^4}{64}}$$ である。ここで $d^2=2-\sqrt{2}$ だから $$d^4=(2-\sqrt{2}{)}^2=6-4\sqrt{2}$$ であり、$$(1-d^2{)}^2=(\sqrt{2}-1{)}^2=3-2\sqrt{2}$$ である。よって $d^4=2(1-d^2{)}^2$ となり、$S_1:S_2:S_3:S_4=1:2:2:1$ である。したがってこの $g(x)$ は条件を満たす。

(1) は一般の偶4次式から条件を順に使って係数を決める。(2) は根を $1\mathrm{/}2$ 対称に置く一般形から面積比の方程式を解く。

(1)
偶4次関数を$$f(x)=A{x}^4+B{x}^2+C$$とおく。4個の零点を $(-1,1)$ にもち、極値の絶対値が1で $f(1)=1$ となる
形では、中央の極大値を $1$、左右の極小値を $-1$ と取る。したがって$$C=1,A+B=0.$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x(2A{x}^2+B)$ の非零の停留点では $x^2={\displaystyle \frac{1}{2}}$ であり、$$f(\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})=1-{\displaystyle \frac{A}{4}}=-1.$$よって $A=8,B=-8$ で$$f(x)=8x^4-8x^2+1.$$(2)$$u=x-{\displaystyle \frac{1}{2}},g(x)=u(u^2-h^2)$$とおく。零点は $-h,0,h$ だけ平行移動したものなので、$0<h<{\displaystyle \frac{1}{2}}$ なら
3零点は $(0,1)$ にある。対称性から $S_1=S_4,S_2=S_3$ である。$$S_1={\displaystyle \frac{(1-4h^2{)}^2}{64}},S_2={\displaystyle \frac{16h^4}{64}}\mathrm{.}$$$S_2=2S_1$ を解くと$$4h^2=2-\sqrt{2}\mathrm{.}$$したがって $$d=2h=\sqrt{2-\sqrt{2}}$$ として$$g(x)=(x-{\displaystyle \frac{1-d}{2}})(x-{\displaystyle \frac{1}{2}})(x-{\displaystyle \frac{1+d}{2}})$$が条件を満たす。