九州大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 微分・方程式・不等式理系数学 第5問(b)

(1) $$\alpha =\sqrt[3]{a}$$ とおく。すると $a={\alpha }^3$ である。 $$f(x)=x^p-{\alpha }^3{x}^{p-3}=x^{p-3}(x^3-{\alpha }^3)$$ であり $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=p{x}^{p-1}-(p-3){\alpha }^3{x}^{p-4}=x^{p-4}\{p{x}^3-(p-3){\alpha }^3\}$$ である。したがって、分母が0でない範囲で $${\displaystyle \frac{f(x)}{f^{\mathrm{\prime }}(x)}}={\displaystyle \frac{x(x^3-{\alpha }^3)}{p{x}^3-(p-3){\alpha }^3}}$$ となる。

よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(x)-\alpha }& {\displaystyle =x-\alpha -{\displaystyle \frac{x(x^3-{\alpha }^3)}{p{x}^3-(p-3){\alpha }^3}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(x-\alpha )\{p{x}^3-(p-3){\alpha }^3\}-x(x^3-{\alpha }^3)}{p{x}^3-(p-3){\alpha }^3}}\mathrm{.}}\end{array}$$分子を整理すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle (x-\alpha )\{p{x}^3-(p-3){\alpha }^3\}-x(x^3-{\alpha }^3)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(p-1)x^4-p\alpha x^3+(4-p){\alpha }^{3}x+(p-3){\alpha }^4}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x-\alpha {)}^2\{(p-1)x^2+(p-2)\alpha x+(p-3){\alpha }^2\}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$g(x)-\sqrt[3]{a}=(x-\sqrt[3]{a}{)}^2{\displaystyle \frac{(p-1)x^2+(p-2)\sqrt[3]{a}x+(p-3)\sqrt[3]{a^2}}{p{x}^3-(p-3)a}}$$であり、指定された形になっている。

(2)

(1) の式で $p=2$ とすると $$(p-1)x^2+(p-2)\alpha x+(p-3){\alpha }^2=x^2-{\alpha }^2=(x-\alpha )(x+\alpha )$$ である。また分母は $2x^3+{\alpha }^3$ である。したがって$$g(x)-\sqrt[3]{a}=(x-\sqrt[3]{a}{)}^3{\displaystyle \frac{x+\sqrt[3]{a}}{2x^3+a}}$$となり、指定された形で表される。

(3) $a=9$、$p=2$ とし、$$\alpha =\sqrt[3]{9}$$ とおく。まず $$f(2)=2^2-{\displaystyle \frac{9}{2}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であり $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x+{\displaystyle \frac{9}{x^2}}$$ だから $$f^{\mathrm{\prime }}(2)=4+{\displaystyle \frac{9}{4}}={\displaystyle \frac{25}{4}}$$ である。したがって $$g(2)=2-{\displaystyle \frac{-1\mathrm{/}2}{25\mathrm{/}4}}=2+{\displaystyle \frac{2}{25}}={\displaystyle \frac{52}{25}}=2.08$$ である。

(2) の式より$$g(2)-\alpha =(2-\alpha {)}^3{\displaystyle \frac{2+\alpha }{16+9}}=(2-\alpha {)}^3{\displaystyle \frac{2+\alpha }{25}}$$である。問題文の注意から $2<\alpha <2.1$ なので、$(2-\alpha {)}^3<0$ である。よって $$\alpha -g(2)=(\alpha -2{)}^3{\displaystyle \frac{2+\alpha }{25}}>0$$ である。

また $0<\alpha -2<0.1$、$2+\alpha <4.1$ だから $$0<\alpha -g(2)<{0.1}^3\cdot \frac{4.1}{25}={\displaystyle \frac{0.0041}{25}}<{\displaystyle \frac{1}{1000}}$$ である。したがって $$0<\sqrt[3]{9}-g(2)<{\displaystyle \frac{1}{1000}}$$ が示された。

さらに $g(2)=2.080$ であるから $$2.080<\sqrt[3]{9}<2.081$$ である。よって小数第4位以下を切り捨てると $$\sqrt[3]{9}=2.080$$ である。

$g(x)$ 自体を1つの分数に直し、$\alpha =\sqrt[3]{a}$ を代入した差の分子を
因数定理で割る。$p=2$ は写像を先に簡約すると3次誤差が直ちに見える。
数値部分は $g(2)$ と因数分解式から挟む。

$$\alpha =\sqrt[3]{a}$$ とおく。直接計算すると$$g(x)={\displaystyle \frac{(p-1)x^4+(4-p){\alpha }^{3}x}{p{x}^3-(p-3){\alpha }^3}}\mathrm{.}$$(1)
$g(x)-\alpha$ の分子は $x=\alpha$ で値も導関数も0になる。
実際に割り算すると$$g(x)-\alpha =(x-\alpha {)}^2{\displaystyle \frac{(p-1)x^2+(p-2)\alpha x+(p-3){\alpha }^2}{p{x}^3-(p-3){\alpha }^3}}\mathrm{.}$$指定された形である。

(2)
$p=2$ では残る2次式が$$x^2-{\alpha }^2=(x-\alpha )(x+\alpha )$$だから$$g(x)-\alpha =(x-\alpha {)}^3{\displaystyle \frac{x+\alpha }{2x^3+{\alpha }^3}}\mathrm{.}$$(3)
$a=9,p=2$ のとき$$g(2)=2-{\displaystyle \frac{-1\mathrm{/}2}{25\mathrm{/}4}}={\displaystyle \frac{52}{25}}=\mathrm{2.08.}$$$2<\alpha <2.1$ と上式から$$0<\alpha -g(2)=(\alpha -2{)}^3{\displaystyle \frac{2+\alpha }{25}}<{0.1}^3{\displaystyle \frac{4.1}{25}}<{\displaystyle \frac{1}{1000}}\mathrm{.}$$したがって$$2.080<\sqrt[3]{9}<2.081,$$小数第4位以下を切り捨てると $2.080$ である。