九州大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1) $$f(x)={\displaystyle \frac{x^3-x}{x^2-4}}={\displaystyle \frac{x(x-1)(x+1)}{(x-2)(x+2)}}$$ である。符号が変わる可能性がある点は $-2,-1,0,1,2$ である。ただし $x=\pm 2$ では定義されない。

符号表を作ると、$f(a)>0$ となるのは $$-2<a<-1,0<a<1,2<a$$ であり、$f(a)<0$ となるのは $$a<-2,-1<a<0,1<a<2$$ である。

不等式 $bf(a)<0$ は、$f(a)>0$ のとき $b<0$、$f(a)<0$ のとき $b>0$ を意味する。したがって図示すべき領域は$$\{\begin{array}{ll}b<0& (-2<a<-1,0<a<1,2<a),\\ b>0& (a<-2,-1<a<0,1<a<2)\end{array}$$である。境界 $a=-1,0,1$ では $f(a)=0$ なので含まれず、$a=\pm 2$ も定義されないので含まれない。

(2)
商の微分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(3x^2-1)(x^2-4)-(x^3-x)2x}{(x^2-4{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{x^4-11x^2+4}{(x^2-4{)}^2}}}\end{array}$$である。$x\mathrm{\ne }\pm 2$ では分母は正なので、極値を与える候補は $x^4-11x^2+4=0$ を満たす点である。$u=x^2$ とおくと $u^2-11u+4=0$ だから $$u={\displaystyle \frac{11\pm \sqrt{105}}{2}}$$ である。どちらも正なので、極値を与える $x$ 座標は$$x=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{11-\sqrt{105}}{2}}},\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{11+\sqrt{105}}{2}}}$$である。

(3)
割り算すると $$f(x)=x+{\displaystyle \frac{3x}{x^2-4}}$$ であり、さらに $${\displaystyle \frac{3x}{x^2-4}}={\displaystyle \frac{3}{2(x-2)}}+{\displaystyle \frac{3}{2(x+2)}}$$ である。したがって漸近線は $$x=-2,x=2,y=x$$ である。

概形は、$x=\pm 2$ を縦の漸近線、$y=x$ を斜めの漸近線として描く。(1) の符号から $x$ 軸との交点は $x=-1,0,1$ であり、(2) の4つの点で増減が切り替わる。これらを合わせて、有理関数の各区間 $(-\mathrm{\infty },-2),(-2,2),(2,\mathrm{\infty })$ に分けてグラフを描けばよい。

$f$ が奇関数であることを使って右半分だけを調べる。部分分数表示で漸近線と発散方向を確認し、導関数の根を重ねる。

$$f(x)=x+{\displaystyle \frac{3}{2(x-2)}}+{\displaystyle \frac{3}{2(x+2)}}$$であり、$f(-x)=-f(x)$ である。

(1)
$x>0$ では零点 $0,1$ と極 $2$ で符号を分けると$$f(x)>0(0<x<1,2<x),f(x)<0(1<x<2)\mathrm{.}$$奇関数の対称性で負側も得られる。$bf(a)<0$ はこの符号と $b$ が逆になる
開領域であり、零点と $a=\pm 2$ は含まない。

(2) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x^4-11x^2+4}{(x^2-4{)}^2}}\mathrm{.}$$$u=x^2$ とおけば$$u={\displaystyle \frac{11\pm \sqrt{105}}{2}}$$だから、極値を与える $x$ は$$x=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{11-\sqrt{105}}{2}}},x=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{11+\sqrt{105}}{2}}}\mathrm{.}$$(3)
部分分数表示から$$x=-2,x=2,y=x$$が漸近線である。さらに$$\begin{array}{ccccc}x& -2^{-}& -2^{+}& 2^{-}& 2^{+}\\ f(x)& -\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }& -\mathrm{\infty }& +\mathrm{\infty }\end{array}$$である。奇関数の原点対称性、3個の零点、4個の極値を合わせれば概形が一意に
定まる。