九州大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1)

点 $(X,Y)$ の $(p,q)$ に関する対称点を $(X^{\mathrm{\prime }},Y^{\mathrm{\prime }})$ とする。$(p,q)$ は2点の中点だから $${\displaystyle \frac{X+X^{\mathrm{\prime }}}{2}}=p,{\displaystyle \frac{Y+Y^{\mathrm{\prime }}}{2}}=q$$ である。よって $(X^{\mathrm{\prime }},Y^{\mathrm{\prime }})=(2p-X,2q-Y)$ である。

(2) $F(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ とおく。$p=-a\mathrm{/}3$ として $x=p+u$ とおくと $$F(p+u)-F(p)=u^3+(3p+a)u^2+(3p^2+2ap+b)u$$ である。$p=-a\mathrm{/}3$ より $3p+a=0$ なので $$F(p+u)-F(p)=u^3+(b-{\displaystyle \frac{a^2}{3}})u$$ となり、これは $u$ の奇関数である。

したがって $$F(p-u)-F(p)=-(F(p+u)-F(p))$$ である。これはグラフ上の点 $(p+u,F(p+u))$ と $(p-u,F(p-u))$ が $(-{\displaystyle \frac{a}{3}},F(-{\displaystyle \frac{a}{3}}))$ に関して対称であることを意味する。よって $G$ はこの点に関して点対称である。

(3)

直線 $mx+ny=0$ の法線方向は $(m,n)$ である。点 $(X,Y)$ からこの直線へ向かう法線方向の成分は ${\displaystyle \frac{mX+nY}{m^2+n^2}}(m,n)$ である。反射点は、この法線方向の成分を2倍引いた点なので $(X,Y)-2{\displaystyle \frac{mX+nY}{m^2+n^2}}(m,n)$ である。したがって対称点は$$(X-{\displaystyle \frac{2m(mX+nY)}{m^2+n^2}},Y-{\displaystyle \frac{2n(mX+nY)}{m^2+n^2}})$$である。整理すると$$({\displaystyle \frac{(n^2-m^2)X-2mnY}{m^2+n^2}},{\displaystyle \frac{-2mnX+(m^2-n^2)Y}{m^2+n^2}})$$となる。

(4) $F(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ とする。仮に $G$ が直線 $mx+ny=0$ に関して線対称であるとする。グラフ上の任意の点 $(x,F(x))$ の対称点を $(X,Y)$ とすれば、その点も $G$ 上にあるので $Y=F(X)$ でなければならない。

まず $mn\mathrm{\ne }0$ とする。(3)の公式より $$X={\displaystyle \frac{(n^2-m^2)x-2mnF(x)}{m^2+n^2}}$$ である。$F(x)$ は3次式であり、$-2mn\mathrm{\ne }0$ だから、$X$ は $x$ の3次式である。一方 $$Y={\displaystyle \frac{-2mnx+(m^2-n^2)F(x)}{m^2+n^2}}$$ は高々3次式である。ところが $F(X)=X^3+a{X}^2+bX+c$ は、$X$ が3次式であるため、最高次に9次の項をもつ。この9次の係数は0でない。これは $Y=F(X)$ が成り立つことに反する。

次に $m=0$ のとき、反射軸は $y=0$ である。すると $(x,F(x))$ の対称点は $(x,-F(x))$ であり、これが常にグラフ上にあるには $-F(x)=F(x)$ がすべての $x$ で成り立つ必要がある。しかし3次関数 $F$ は恒等的に0ではないので不可能である。

最後に $n=0$ のとき、反射軸は $x=0$ である。すると $(-x,F(x))$ が常にグラフ上にある必要があり、$F(-x)=F(x)$ がすべての $x$ で成り立つはずである。しかし $F(-x)-F(x)$ には $-2x^3$ の項が残るため、恒等的に0にはならない。

以上より、$G$ は原点を通るどんな直線に関しても線対称でない。

直線への反射を、もとの位置ベクトルから法線方向の成分を2倍差し引く操作として表す。(4)では、
非鉛直・非水平な軸なら反射後の横座標が元の縦座標を含むため3次式となり、
3次グラフへ再代入すると9次が生じることを係数で比較する。

(1)
中点条件から対称点は$$(2p-X,2q-Y)$$である。

(2)
$h=-a\mathrm{/}3$ とすれば$$F(h+u)-F(h)=u^3+(b-{\displaystyle \frac{a^2}{3}})u$$は奇関数である。よって中心 $(h,F(h))$ に関して点対称である。

(3)
法線単位ベクトルを$$\mathit{n}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{m^2+n^2}}}(m,n)$$とする。反射は位置ベクトル $\mathit{v}=(X,Y)$ から
法線成分を2倍引く変換$$\mathit{v}⟼\mathit{v}-2(\mathit{v}\cdot \mathit{n})\mathit{n}$$である。したがって対称点は$$({\displaystyle \frac{(n^2-m^2)X-2mnY}{m^2+n^2}},{\displaystyle \frac{-2mnX+(m^2-n^2)Y}{m^2+n^2}})\mathrm{.}$$(4)
$mn\mathrm{\ne }0$ なら、$(x,F(x))$ の反射後の横座標 $X$ は
最高次係数 $-2mn\mathrm{/}(m^2+n^2)\mathrm{\ne }0$ の3次式である。
よって $F(X)$ は9次式だが、反射後の縦座標 $Y$ は高々3次式であり、
$Y=F(X)$ は恒等的には成り立たない。

$m=0$ なら軸は $y=0$ で、線対称には $F(x)=-F(x)$ が必要となり不可能。
$n=0$ なら軸は $x=0$ で、$F(-x)=F(x)$ が必要だが
3次項の符号が反対になる。以上より該当する直線はない。