九州大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 図形と方程式・微分理系数学 第5問(b)

(1)
接点を $Q=(2m_1,m_1^2)$, $R=(2m_2,m_2^2)$ とする。2接線の交点は$$P=(m_1+m_2,m_1{m}_2)$$である。$m_1<0<m_2$ のとき、点 $P$ から接点へ向かう2本の半直線が作る角を
$\theta$ とすれば$$\tan \theta ={\displaystyle \frac{m_1-m_2}{1+m_1{m}_2}}\mathrm{.}$$右辺が正であるため $1+m_1{m}_2<0$ である。

(2)
放物線 $y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$ の傾き $m$ の接線は$$y=mx-m^2$$である。これが $P(a,b)$ を通る条件は$$m^2-am+b=0.$$その2根を $m_1<m_2$ とすると$$m_1+m_2=a,m_1{m}_2=b,m_2-m_1=\sqrt{a^2-4b}\mathrm{.}$$(1) と $\tan \theta >0$ から$$\tan \theta =-{\displaystyle \frac{\sqrt{a^2-4b}}{1+b}},b<-1.$$したがって$$G:a^2-4b=(1+b{)}^2{\tan }^2\theta ,b<-1.$$逆にこの条件を満たす点では2本の接線が存在し、その半直線のなす角は $\theta$
であるから、これは必要十分である。

(3) $$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ では$$(b+3{)}^2-a^2=8,b<-1.$$よって $G$ は双曲線$$(b+3{)}^2-a^2=8$$の下側の枝$$b=-3-\sqrt{a^2+8}$$だけである。上側の枝では2本の接線が作る角が鋭角 ${\displaystyle \frac{\pi }{4}}$ にならない。

接線の傾きを根として扱い、点 $P$ から2接点へ向かうベクトルの内積・行列式で角を求める。これにより枝の条件 $b<-1$ も同時に決定する。

(1)
接線の傾きを $m_1<m_2$ とすると$$P=(m_1+m_2,m_1{m}_2)\mathrm{.}$$接点 $Q=(2m_1,m_1^2)$, $R=(2m_2,m_2^2)$ へのベクトルは$$\overrightarrow{PQ}=-(m_2-m_1)(1,m_1),\overrightarrow{PR}=(m_2-m_1)(1,m_2)\mathrm{.}$$したがって内積は$$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{PR}=-(m_2-m_1{)}^2(1+m_1{m}_2)\mathrm{.}$$$\theta$ は鋭角だから内積は正であり、$$1+m_1{m}_2<0.$$すなわち $b=m_1{m}_2<-1$ である。また行列式と内積の比から$$\tan \theta ={\displaystyle \frac{m_2-m_1}{-(1+m_1{m}_2)}}=-{\displaystyle \frac{\sqrt{a^2-4b}}{1+b}}\mathrm{.}$$(2)
よって$$a^2-4b=(1+b{)}^2{\tan }^2\theta ,b<-1.$$(3)$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ なら$$(b+3{)}^2-a^2=8,b<-1,$$したがって下側の枝$$b=-3-\sqrt{a^2+8}$$だけが $G$ である。