九州大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 三角関数・関数文系数学 第3問(b)

(1) 和積公式 $$\cos A+\cos B=2\cos {\displaystyle \frac{A+B}{2}}\cos {\displaystyle \frac{A-B}{2}}$$ に $$A=n\theta ,B=(n-2)\theta$$ を代入すると $$\cos n\theta +\cos (n-2)\theta =2\cos (n-1)\theta \cos \theta$$ である。したがって $$\cos n\theta =2\cos \theta \cos (n-1)\theta -\cos (n-2)\theta$$ を得る。

次に $$p_1(x)=x,p_2(x)=2x^2-1$$ とおく。さらに $n\geqq 3$ について $$p_n(x)=2x{p}_{n-1}(x)-p_{n-2}(x)$$ と定める。このとき上の漸化式により、帰納的に $$\cos n\theta =p_n(\cos \theta )$$ が成り立つ。また $p_n$ は $n$ 次式である。実際、$p_{n-1}$ の最高次項に $2x$ を掛けることで $n$ 次項が生じ、$p_{n-2}$ では打ち消されない。

(2) $p_1(x)=x$ は奇関数、$p_2(x)=2x^2-1$ は偶関数である。いま $p_{n-1}$ と $p_{n-2}$ が添字の偶奇に応じて偶関数・奇関数になっているとする。 $n$ が奇数のとき、$n-1$ は偶数なので $p_{n-1}$ は偶関数であり、$2x{p}_{n-1}(x)$ は奇関数である。また $n-2$ は奇数なので $p_{n-2}$ も奇関数である。したがって $p_n$ は奇関数である。 $n$ が偶数のときも同様に、$2x{p}_{n-1}(x)$ と $p_{n-2}(x)$ はともに偶関数であり、$p_n$ は偶関数である。よって $n\text{ が偶数なら }{p}_n\text{ は偶関数、奇数なら奇関数}$ である。

(3) (2) より、$p_n$ の定数項は $n$ が奇数なら0であり、1次の項の係数は $n$ が偶数なら0である。そこで、$p_{2m}$ の定数項を $a_m$、$p_{2m-1}$ の1次の項の係数を $b_m$ とおく。 $p_2(x)=2x^2-1$, $p_1(x)=x$ より $a_1=-1,b_1=1$ である。

漸化式 $$p_{2m+2}=2x{p}_{2m+1}-p_{2m}$$ の定数項を見ると、$2x{p}_{2m+1}$ の定数項は0であるから $a_{m+1}=-a_m$ である。よって $a_m=(-1{)}^m$ である。

また $$p_{2m+1}=2x{p}_{2m}-p_{2m-1}$$ の1次の係数を見ると、$2x{p}_{2m}$ の1次係数は $2a_m$ であるから $b_{m+1}=2a_m-b_m$ である。$a_m=(-1{)}^m$ と $b_1=1$ から帰納的に $b_m=(2m-1)(-1{)}^{m-1}$ が得られる。

したがって、定数項は$$\{\begin{array}{ll}0& (n\text{ が奇数}),\\ (-1{)}^{n\mathrm{/}2}& (n\text{ が偶数}),\end{array}$$であり、1次の項の係数は$$\{\begin{array}{ll}n(-1{)}^{(n-1)\mathrm{/}2}& (n\text{ が奇数}),\\ 0& (n\text{ が偶数})\end{array}$$である。

漸化式で $p_n$ の存在を示した後、$x=-\cos \theta$ を
$\cos (\pi -\theta )$ と見て偶奇性を直接判定する。定数項は
$\theta =\pi \mathrm{/}2$ の代入、1次係数は恒等式を $\theta$ で微分して求める。

(1)
加法定理から$$\cos n\theta +\cos (n-2)\theta =2\cos \theta \cos (n-1)\theta$$である。$p_0(x)=1,p_1(x)=x$ とし、$$p_n(x)=2x{p}_{n-1}(x)-p_{n-2}(x)$$と定めれば、帰納的に $$\cos n\theta =p_n(\cos \theta )$$ となり、
最高次項も消えないので $p_n$ は $n$ 次式である。

(2)
$x=\cos \theta$ とすると $-x=\cos (\pi -\theta )$ だから$$p_n(-x)=\cos \{n(\pi -\theta )\}=(-1{)}^n\cos n\theta =(-1{)}^n{p}_n(x)\mathrm{.}$$よって $n$ が偶数なら偶関数、奇数なら奇関数である。

(3)
$\theta =\pi \mathrm{/}2$ を代入すると定数項は$$p_n(0)=\cos {\displaystyle \frac{n\pi }{2}}=\{\begin{array}{ll}0& (n\text{ が奇数}),\\ (-1{)}^{n\mathrm{/}2}& (n\text{ が偶数})\end{array}$$である。

恒等式を $\theta$ で微分すると$$-n\sin n\theta =-\sin \theta p_n^{\mathrm{\prime }}(\cos \theta )\mathrm{.}$$再び $\theta =\pi \mathrm{/}2$ とおけば$$p_n^{\mathrm{\prime }}(0)=n\sin {\displaystyle \frac{n\pi }{2}}=\{\begin{array}{ll}n(-1{)}^{(n-1)\mathrm{/}2}& (n\text{ が奇数}),\\ 0& (n\text{ が偶数})\end{array}$$である。$p_n^{\mathrm{\prime }}(0)$ は $p_n$ の1次項の係数そのものである。