九州大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1)
接点の $x$ 座標を $t$ とする。曲線 $C:y=2\sin x$ の接線の傾きは $2\cos t$ である。一方、直線 $l:y=x+a$ の傾きは $1$ なので、接線条件から $2\cos t=1$ である。したがって $\cos t={\displaystyle \frac{1}{2}}$ であり、$-\pi \leqq t\leqq \pi$ より $$t=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ である。

接線の式は $$y=2\sin t+1\cdot (x-t)=x+2\sin t-t$$ である。これが $y=x+a$ と一致するので $a=2\sin t-t$ である。$$t={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ のとき $$a=\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}>0$$ であり、$$t=-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ のとき $$a=-\sqrt{3}+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}<0$$ である。条件 $a\geqq 0$ より $$a=\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ である。

(2)
以後 $$a=\sqrt{3}-{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ とする。直線 $y=x+a$ は $x=-a$ で $x$ 軸と交わり、曲線 $y=2\sin x$ は $x=0$ で $x$ 軸と交わる。また接点は $$x={\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ である。 $y\geqq 0$ の部分だけを考えると、$-a\leqq x\leqq 0$ では直線と $x$ 軸に挟まれた部分を回転するので、断面は半径 $x+a$ の円である。$$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ では直線が曲線より上にあり、断面は外半径 $x+a$、内半径 $2\sin x$ の輪である。したがって体積 $V$ は$$V=\pi {\int }_{-a}^0(x+a{)}^{2}dx+\pi {\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}\{(x+a{)}^2-4{\sin }^{2}x\}dx$$である。

2つの $(x+a{)}^2$ の積分をまとめると$${\int }_{-a}^{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}(x+a{)}^{2}dx={\left[{\displaystyle \frac{(x+a{)}^3}{3}}\right]}_{-a}^{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}={\displaystyle \frac{(a+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}{)}^3}{3}}$$である。ここで $$a+{\displaystyle \frac{\pi }{3}}=\sqrt{3}$$ なので、これは $${\displaystyle \frac{(\sqrt{3}{)}^3}{3}}=\sqrt{3}$$ である。また$${\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}4{\sin }^{2}xdx={\int }_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}2(1-\cos 2x)dx={[2x-\sin 2x]}_0^{{\displaystyle \frac{\pi }{3}}}={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi \{\sqrt{3}-({\displaystyle \frac{2\pi }{3}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\pi ({\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}-{\displaystyle \frac{2\pi }{3}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\pi (9\sqrt{3}-4\pi )}{6}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって求める体積は ${\displaystyle \frac{\pi (9\sqrt{3}-4\pi )}{6}}$ である。