九州大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$\mathrm{\mid }\sin (x+\pi )\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }-\sin x\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }$$なので $\pi$ は周期である。正の零点は $\pi ,2\pi ,\dots$ であり、0に最も近い正の零点が $\pi$ だから、それより短い正の周期は存在しない。よって基本周期は $\pi$ である。

(2)

$f$ は奇関数であり、$p$ が周期なら$$f\left({\displaystyle \frac{p}{2}}\right)=f(-{\displaystyle \frac{p}{2}}+p)=f(-{\displaystyle \frac{p}{2}})=-f\left({\displaystyle \frac{p}{2}}\right)\mathrm{.}$$したがって$$f\left({\displaystyle \frac{p}{2}}\right)=f(-{\displaystyle \frac{p}{2}})=0.$$よって$$\sin {\displaystyle \frac{mp}{2}}=0\text{または}\sin {\displaystyle \frac{np}{2}}=0.$$前者なら $mp\in 2\pi \mathbb{Z}$ で、絶対値因子は $p$ だけずらしても変わらない。周期条件から、絶対値因子が0でない区間では$$\sin n(x+p)=\sin nx\mathrm{.}$$連続性によりこれは全実数で成り立ち、$np\in 2\pi \mathbb{Z}$ である。

後者なら $np\in 2\pi \mathbb{Z}$ で、正弦因子は $p$ だけずらしても変わらない。同様に0でない区間で割って連続性を使うと$$\mathrm{\mid }\sin m(x+p)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\sin mx\mathrm{\mid }$$が全実数で成り立つ。$x=0$ を代入して $\sin (mp)=0$、すなわち $mp\in \pi \mathbb{Z}$ を得る。

したがって常に$$mp\in \pi \mathbb{Z},np\in 2\pi \mathbb{Z}\mathrm{.}$$(3)

$mp=r\pi$、$np=2s\pi$ とおくと$$rn=2sm\mathrm{.}$$$m,n$ は互いに素なので $m\mid r$。$r=mk$ と書けば $p=k\pi$ であり、さらに $nk$ は偶数である。

$n$ が偶数なら最小の正の $k$ は1で、$p=\pi$。$n$ が奇数なら最小の正の $k$ は2で、$p=2\pi$。どちらも直接代入して周期であることを確認できる。よって$$\text{基本周期}=\{\begin{array}{ll}\pi & (n\text{ が偶数}),\\ 2\pi & (n\text{ が奇数})\end{array}$$である。

負の山を上へ折り返すと、同じ山形が長さ $\pi$ ごとに繰り返される。