九州大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1) $f(x)=0$ は $$\mid \sin x-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ と同値である。したがって $$\sin x=0\text{または}\sin x=1$$ である。$-\pi \leqq x\leqq \pi$ でこれを満たすのは $$x=-\pi ,0,\pi ,{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ である。

(2) $u=\sin x$ と見る。$$u\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ のとき $$\mid u-{\displaystyle \frac{1}{2}}\mid ={\displaystyle \frac{1}{2}}-u$$ なので $f(x)=\mathrm{\mid }-\sin x\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }$ である。$$u\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}}$$ のときは $$f(x)=\mathrm{\mid }\sin x-1\mathrm{\mid }=1-\sin x$$ である。したがって$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }& (\sin x\leqq {\displaystyle \frac{1}{2}}),\\ 1-\sin x& (\sin x\geqq {\displaystyle \frac{1}{2}})\end{array}$$である。グラフは，$x=-\pi ,0,\pi ,\pi \mathrm{/}2$ で $0$ をとり，$x=-\pi \mathrm{/}2$ で最大値 $1$ をとる。$0\leqq x\leqq \pi$ では $x=\pi \mathrm{/}6,5\pi \mathrm{/}6$ で式が $\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }$ から $1-\sin x$ に切り替わる。

(3)
値域は $0\leqq f(x)\leqq 1$ である。したがって $k<0$ または $k>1$ では解はない。 $k=0$ では(1)より4個である。$$0<k<{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ のとき，$\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }=k$ から4個，$1-\sin x=k$，すなわち $\sin x=1-k$ から2個出るので，合計6個である。$$k={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ のときは $$\sin x={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ の2個と $$\sin x=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ の2個で，合計4個である。$${\displaystyle \frac{1}{2}}<k<1$$ のときは $\mathrm{\mid }\sin x\mathrm{\mid }=k$ のうち $\sin x=-k$ だけが有効で，2個である。$k=1$ では $\sin x=-1$ だけなので1個である。

よって解の個数は$$\begin{array}{cc}k& \text{解の個数}\\ k<0,1<k& 0\\ k=0& 4\\ 0<k<{\displaystyle \frac{1}{2}}& 6\\ k={\displaystyle \frac{1}{2}}& 4\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}<k<1& 2\\ k=1& 1\end{array}$$である。