九州大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)

点 $P$ が原点を通るには $$\cos (t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})=0,\cos 2t=0$$ が同時に成り立てばよい。 $0\leqq t<2\pi$ で調べると、$$t={\displaystyle \frac{\pi }{4}},{\displaystyle \frac{5\pi }{4}}$$ の2つである。実際、これらの値では $t+\pi \mathrm{/}4$ がそれぞれ $\pi \mathrm{/}2,3\pi \mathrm{/}2$ となり、$2t$ がそれぞれ $\pi \mathrm{/}2,5\pi \mathrm{/}2$ となる。

速度ベクトルは$$({\displaystyle \frac{dx}{dt}},{\displaystyle \frac{dy}{dt}})=\left(\begin{array}{c}-\sin (t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}})\\ -2\sin 2t\end{array}\right)$$である。したがって $$t={\displaystyle \frac{\pi }{4}}\text{のとき}(-1,-2),$$ $$t={\displaystyle \frac{5\pi }{4}}\text{のとき}(1,-2)$$ である。

(2) $$s=t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ とおく。このとき $x=\cos s$ であり、また $$y=\cos 2t=\cos (2s-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=\sin 2s$$ である。したがって $$y=2\sin s\cos s=2x\sin s$$ であるから、両辺を2乗して $$y^2=4x^2{\sin }^{2}s=4x^2(1-{\cos }^{2}s)=4x^2(1-x^2)$$ を得る。

この方程式は $x$ を $-x$ に変えても、また $y$ を $-y$ に変えても変わらない。よって軌跡 $C$ は $y$ 軸に関して対称であり、また $x$ 軸に関しても対称である。

(3)

(2) より軌跡は $$y^2=4x^2(1-x^2),-1\leqq x\leqq 1$$ で表される。すなわち $$y=\pm 2\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\sqrt{1-x^2}$$ である。

この式から、$x=-1,0,1$ で $y=0$ となる。さらに右側 $0\leqq x\leqq 1$ では原点と $(1,0)$ を結ぶ上下対称のふくらみを作り、左側 $-1\leqq x\leqq 0$ でも $(-1,0)$ と原点を結ぶ同じ形のふくらみを作る。したがって概形は、原点で接する左右2つの閉じたふくらみをもち、全体として $x$ 軸・$y$ 軸の両方に関して対称な曲線である。

(4)

対称性より、全体の面積は右上部分の4倍である。右上部分では $0\leqq x\leqq 1$ かつ $$y=2x\sqrt{1-x^2}$$ であるから、求める面積 $S$ は$$S=4{\int }_0^{1}2x\sqrt{1-x^2}dx$$である。

ここで $u=1-x^2$ とおくと $du=-2xdx$ であり、$${\int }_0^{1}2x\sqrt{1-x^2}dx={\int }_0^1{u}^{1\mathrm{/}2}du={\displaystyle \frac{2}{3}}$$である。したがって $$S=4\cdot {\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{8}{3}}$$ である。

原点で接する二つのループ

軌跡の式を消去せず、$s=t+\pi \mathrm{/}4$ による媒介表示 $x=\cos s,y=\sin 2s$ のまま一つのループの面積を線積分で求め、対称な二つのループを足す。

(1)
原点を通るのは$$t={\displaystyle \frac{\pi }{4}},{\displaystyle \frac{5\pi }{4}}\mathrm{.}$$速度ベクトルはそれぞれ$$(-1,-2),(1,-2)$$である。

(2) $$s=t+{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ と置けば$$x=\cos s,y=\sin 2s\mathrm{.}$$$s\mapsto \pi -s$ で $x$ の符号だけが変わり，$s\mapsto -s$ で $y$ の符号だけが変わるので，両軸対称である。

(3) $$y^2=4x^2(1-x^2),-1\leqq x\leqq 1$$であり，原点で接する左右二つのループを描く。

(4)
右側の一つのループは $$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}\leqq s\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ で一周する。その符号付き面積の絶対値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_{\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}}}& {\displaystyle =\mid {\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}x{\displaystyle \frac{dy}{ds}}ds\mid }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\mid {\int }_{-\pi \mathrm{/}2}^{\pi \mathrm{/}2}2\cos s\cos 2sds\mid ={\displaystyle \frac{4}{3}}\mathrm{.}}\end{array}$$左右は同面積だから$$S=2S_{\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{g}\mathrm{h}\mathrm{t}}={\displaystyle \frac{8}{3}}\mathrm{.}$$