九州大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $$f(a)=\sum _{k=1}^n(a{x}_k-y_k{)}^2$$ を $a$ で微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(a)=2\sum _{k=1}^n{x}_k(a{x}_k-y_k)$$ である。最小値を与える $a_0$ では $f^{\mathrm{\prime }}(a_0)=0$ だから $$\sum _{k=1}^n{x}_k(a_0{x}_k-y_k)=0$$ である。したがって $$a_0\sum _{k=1}^n{x}_k^2=\sum _{k=1}^n{x}_k{y}_k$$ である。$x_k>0$ なので $$\sum x_k^2>0$$ であり，$$a_0={\displaystyle \frac{\sum _{k=1}^n{x}_k{y}_k}{\sum _{k=1}^n{x}_k^2}}$$ である。

(2)
どの点も直線 $y=a_{0}x$ 上になく，さらに上側にもないと仮定する。このときすべての $k$ について $y_k<a_0{x}_k$ である。$x_k>0$ だから $x_k{y}_k<a_0{x}_k^2$ である。これを $k=1,2,\dots ,n$ について足すと $$\sum _{k=1}^n{x}_k{y}_k<a_0\sum _{k=1}^n{x}_k^2$$ となる。しかし(1)より右辺は $$\sum x_k{y}_k$$ と等しい。これは矛盾である。したがって少なくとも1点は直線 $y=a_{0}x$ の上側にある。

(3) $x_k=bk$，$y_k=c$ とする。このとき$$\sum _{k=1}^n{x}_k{y}_k=bc\sum _{k=1}^{n}k,\sum _{k=1}^n{x}_k^2=b^2\sum _{k=1}^n{k}^2$$である。よって$$a_0={\displaystyle \frac{bc\sum k}{b^2\sum k^2}}={\displaystyle \frac{c}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}}{{\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}}}={\displaystyle \frac{c}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{2n+1}}$$である。

点 $(bk,c)$ が直線 $y=a_{0}x$ 上にある条件は $c=a_{0}bk$ である。上の $a_0$ を代入すると $$c={\displaystyle \frac{c}{b}}\cdot {\displaystyle \frac{3}{2n+1}}\cdot bk={\displaystyle \frac{3ck}{2n+1}}$$ である。$c>0$ より両辺を $c$ で割って $$1={\displaystyle \frac{3k}{2n+1}}$$ すなわち $$k={\displaystyle \frac{2n+1}{3}}$$ である。したがって，ある点が直線上にあるための条件は，$(2n+1)\mathrm{/}3$ が $1$ から $n$ までの整数であることである。これは $2n+1\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ すなわち $n\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ であり，$b,c$ によらない条件である。

最小値であることの確認$$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)=2\sum _{k=1}^n{x}_k^2>0$$であるから，$f^{\mathrm{\prime }}(a_0)=0$ を満たす点はただ1つで，確かに全体の最小値を与える。(2)で用いた等式$$\sum _{k=1}^n{x}_k(a_0{x}_k-y_k)=0$$はこの最小条件そのものである。