九州大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)
領域 $A$ は $2\mathrm{\mid }x-4\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }y-5\mathrm{\mid }\leqq 3$ で表される。中心は $(4,5)$ であり、$y=5$ とおくと $2\mathrm{\mid }x-4\mathrm{\mid }\leqq 3$ より $$x={\displaystyle \frac{5}{2}},{\displaystyle \frac{11}{2}}$$ が左右の頂点である。また $x=4$ とおくと $\mathrm{\mid }y-5\mathrm{\mid }\leqq 3$ より $y=2,8$ が上下の頂点である。したがって $A$ は頂点$$({\displaystyle \frac{5}{2}},5),({\displaystyle \frac{11}{2}},5),(4,2),(4,8)$$をもつひし形である。

(2)
領域 $B$ は $2\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }-4\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }-5\mathrm{\mid }\leqq 3$ である。これは $(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid })$ が第1象限にある領域 $A$ に入ることを意味する。したがって、(1) のひし形を4つの点 $(4,5),(-4,5),(4,-5),(-4,-5)$ を中心として対称に置いた図形が $B$ である。

(3) $x$ は正の整数であり、領域 $B$ の条件から $2\mathrm{\mid }x-4\mathrm{\mid }\leqq 3$ である。よって $x=3,4,5$ だけを調べればよい。 $x=3$ または $x=5$ のときは $\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }-5\mathrm{\mid }\leqq 1$ なので $\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }=4,5,6$ である。$x=3$ では $4,5,6$ のいずれも3の有理数乗で表される整数ではないので該当しない。$x=5$ では $\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }=5$ のとき ${\log }_5\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }=1$ であり、有理数である。 $x=4=2^2$ のときは $\mathrm{\mid }\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }-5\mathrm{\mid }\leqq 3$ なので $\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }=2,3,4,5,6,7,8$ である。${\log }_4\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$ が有理数になるには、$\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$ が2だけを素因数にもつ数であればよい。この範囲では $\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }=2,4,8$ である。

したがって求める点は $(4,\pm 2),(4,\pm 4),(4,\pm 8),(5,\pm 5)$ である。

$(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid },\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid })$ を第1象限へ移して候補を表にする。対数が有理数なら $x^m=\mathrm{\mid }y{\mathrm{\mid }}^n$ となることを使い、素因数指数を比較する。

(1)
$A$ は中心 $(4,5)$、頂点$$({\displaystyle \frac{5}{2}},5),({\displaystyle \frac{11}{2}},5),(4,2),(4,8)$$のひし形である。

(2)
$B$ はこのひし形を $x$ 軸、$y$ 軸、原点について対称移動
して得る4個のひし形の和集合である。

(3)
$x>0$ なので $(x,\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid })$ だけを調べればよい。候補は$$\begin{array}{cc}x& \mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }\\ 3& 4,5,6\\ 4& 2,3,4,5,6,7,8\\ 5& 4,5,6\end{array}$$である。$${\log }_x\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{m}{n}}$$ $(m,n\in \mathbb{Z},n>0)$ なら$$x^m=\mathrm{\mid }y{\mathrm{\mid }}^n\mathrm{.}$$素因数分解の一意性から、$x=3$ では $\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }$ は3の冪、$x=4=2^2$ では2の冪、
$x=5$ では5の冪でなければならない。表の中で該当するのは$$(x,\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid })=(4,2),(4,4),(4,8),(5,5)$$だけである。したがって$$(x,y)=(4,\pm 2),(4,\pm 4),(4,\pm 8),(5,\pm 5)\mathrm{.}$$