九州大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1)

点 $(X,Y)$ とその対称点を $(X^{\mathrm{\prime }},Y^{\mathrm{\prime }})$ とする。点 $(p,q)$ がこの2点の中点になるので $${\displaystyle \frac{X+X^{\mathrm{\prime }}}{2}}=p,{\displaystyle \frac{Y+Y^{\mathrm{\prime }}}{2}}=q$$ である。したがって $(X^{\mathrm{\prime }},Y^{\mathrm{\prime }})=(2p-X,2q-Y)$ である。

(2) $F(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$ とおく。3次関数の2次の項を消すために $$p=-{\displaystyle \frac{a}{3}}$$ とおく。$x=p+u$ として $F(p+u)-F(p)$ を計算すると $$F(p+u)-F(p)=u^3+(3p+a)u^2+(3p^2+2ap+b)u$$ である。$p=-a\mathrm{/}3$ だから2次の項は消え、$$F(p+u)-F(p)=u^3+(b-{\displaystyle \frac{a^2}{3}})u$$ となる。右辺は $u$ の奇関数である。

したがって、グラフ上の点 $(p+u,F(p+u))$ に対して、点 $(p-u,F(p-u))$ は $$F(p-u)-F(p)=-(F(p+u)-F(p))$$ を満たす。これは2点が $(-{\displaystyle \frac{a}{3}},F(-{\displaystyle \frac{a}{3}}))$ に関して対称であることを意味する。よって $G$ はこの点に関して点対称である。

(3)

直線 $x=p$ に関する対称では、$y$ 座標は変わらず、$x$ 座標だけが $p$ をはさんで反対側へ移る。したがって点 $(X,Y)$ の対称点は $(2p-X,Y)$ である。

(4)

もし $G$ が直線 $x=p$ に関して線対称であるなら、任意の実数 $u$ について、点 $(p+u,F(p+u))$ の対称点 $(p-u,F(p+u))$ も $G$ 上にある。したがって $F(p-u)=F(p+u)$ がすべての $u$ で成り立つはずである。

ところが $F(p+u)-F(p-u)$ を計算すると、最高次の項として $2u^3$ が現れる。これは恒等的に0にはならない。したがって $F(p+u)=F(p-u)$ はすべての $u$ では成り立たない。

よって $G$ は $y$ 軸に平行などんな直線に関しても線対称でない。

$x=u-a\mathrm{/}3$ の平行移動で3次関数を「定数＋奇関数」の形にする。
対称変換を新しい座標で書けば、点対称性と縦軸に関する
線対称性の不可能性を係数比較だけで判定できる。

(1)
点 $(p,q)$ が $(X,Y)$ と対称点 $(X^{\mathrm{\prime }},Y^{\mathrm{\prime }})$ の中点だから$$(X^{\mathrm{\prime }},Y^{\mathrm{\prime }})=(2p-X,2q-Y)\mathrm{.}$$(2)
$h=-a\mathrm{/}3$、$x=h+u$ とおく。展開すると$$F(h+u)=F(h)+u^3+(b-{\displaystyle \frac{a^2}{3}})u\mathrm{.}$$右辺の定数項以外は $u$ の奇関数なので$$F(h+u)+F(h-u)=2F(h)\mathrm{.}$$よって $G$ は点 $(h,F(h))$ に関して点対称である。

(3)
直線 $x=p$ は対称な2点の $x$ 座標の中点であり、
$y$ 座標は変えない。したがって対称点は$$(2p-X,Y)$$である。

(4)
仮に $x=p$ に関して線対称なら、
$H(u)=F(p+u)$ は $H(u)=H(-u)$ を満たす偶関数である。
しかし平行移動しても $H(u)$ の最高次項は $u^3$ であり、
$H(-u)$ の最高次項は $-u^3$ である。係数1と$-1$は一致しない。
よってどの $p$ に対しても線対称にはならない。