九州大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 図形と方程式・微分理系数学 第5問(a)

まず3点の座標を求めておく。 $$f(0)=1,f\left({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\right)={\displaystyle \frac{5}{8}},f(\pi )={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ であるから$$P_1=(1,0),P_2=(0,{\displaystyle \frac{5}{8}}),P_3=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},0)$$である。

(1)

楕円 $${\displaystyle \frac{(x-\alpha {)}^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{(y-\beta {)}^2}{b^2}}=1$$ が $P_1=(1,0)$ を通るので $${\displaystyle \frac{(1-\alpha {)}^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{{\beta }^2}{b^2}}=1$$ である。

点 $P_3=(-1\mathrm{/}2,0)$ が楕円の内部にある条件は $${\displaystyle \frac{(-1\mathrm{/}2-\alpha {)}^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{{\beta }^2}{b^2}}<1$$ である。上の $P_1$ の式と比べると、これは $$(-1\mathrm{/}2-\alpha {)}^2<(1-\alpha {)}^2$$ と同値である。よって $${\alpha }^2+\alpha +{\displaystyle \frac{1}{4}}<{\alpha }^2-2\alpha +1$$ となり $3\alpha <{\displaystyle \frac{3}{4}}$ を得る。したがって必要十分条件は $\alpha <{\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。

(2) $r=f(\theta )$ とおくと $$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$ である。また $$f^{\mathrm{\prime }}(\theta )={\displaystyle \frac{\theta -\pi }{{\pi }^2}}$$ だから、$\theta =\pi \mathrm{/}2$ では $$r={\displaystyle \frac{5}{8}},r^{\mathrm{\prime }}=-{\displaystyle \frac{1}{2\pi }}$$ である。

微分すると$${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }}=r^{\mathrm{\prime }}\cos \theta -r\sin \theta ,{\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}=r^{\mathrm{\prime }}\sin \theta +r\cos \theta$$である。$\theta =\pi \mathrm{/}2$ に代入して $${\displaystyle \frac{dx}{d\theta }}=-{\displaystyle \frac{5}{8}},{\displaystyle \frac{dy}{d\theta }}=-{\displaystyle \frac{1}{2\pi }}$$ となる。よって接線の傾きは $${\displaystyle \frac{dy\mathrm{/}d\theta }{dx\mathrm{/}d\theta }}={\displaystyle \frac{4}{5\pi }}$$ である。

接点は $P_2=(0,5\mathrm{/}8)$ なので、接線 $l$ は $$y={\displaystyle \frac{4}{5\pi }}x+{\displaystyle \frac{5}{8}}$$ である。

(3)

楕円 $D$ の軸の1つが $x$ 軸上にあるので、中心を $(k,0)$ として $${\displaystyle \frac{(x-k{)}^2}{A^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{B^2}}=1$$ とおける。$P_1=(1,0)$ を通るから $A^2=(1-k{)}^2$ である。

さらに $P_2=(0,5\mathrm{/}8)$ を通るので $${\displaystyle \frac{k^2}{(1-k{)}^2}}+{\displaystyle \frac{25}{64B^2}}=1$$ となる。したがって $$B^2={\displaystyle \frac{25(1-k{)}^2}{64(1-2k)}}$$ であり、楕円であるためには $k<1\mathrm{/}2$ が必要である。

この楕円を暗に微分すると $${\displaystyle \frac{2(x-k)}{(1-k{)}^2}}+{\displaystyle \frac{2y{y}^{\mathrm{\prime }}}{B^2}}=0$$ である。$P_2=(0,5\mathrm{/}8)$ における接線の傾きは $$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{B^{2}k}{(1-k{)}^2(5\mathrm{/}8)}}={\displaystyle \frac{5k}{8(1-2k)}}$$ である。

条件(iii)より、これは(2)で求めた傾き $4\mathrm{/}(5\pi )$ に等しい。よって $${\displaystyle \frac{5k}{8(1-2k)}}={\displaystyle \frac{4}{5\pi }}$$ であり $25\pi k=32(1-2k)$ となる。したがって $$k={\displaystyle \frac{32}{25\pi +64}}$$ である。

ここで $25\pi >75>64$ だから $$4k={\displaystyle \frac{128}{25\pi +64}}<1$$ すなわち $k<{\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。(1)の判定で $\alpha =k$ と見れば、点 $P_3$ は楕円 $D$ の内部に含まれる。

したがって $P_3\text{ は楕円 }D\text{ の内部に含まれる}$ である。

(1) は同じ高さにある2点の中心からの水平距離を比較する。
(2)は媒介変数の速度ベクトルから法線を得る。(3)は楕円の勾配が
接線の法線になる条件を使い、中心の $x$ 座標だけを決める。

$$P_1=(1,0),P_2=(0,{\displaystyle \frac{5}{8}}),P_3=(-{\displaystyle \frac{1}{2}},0)\mathrm{.}$$(1)
$P_1,P_3$ は同じ高さ $y=0$ にある。$P_1$ が楕円上なら、
$P_3$ が内部にある条件は中心の $x$ 座標 $\alpha$ からの水平距離が
$P_1$ より短いこと、すなわち$$\mid -{\displaystyle \frac{1}{2}}-\alpha \mid <\mathrm{\mid }1-\alpha \mathrm{\mid }\mathrm{.}$$二乗して整理すると $\alpha <1\mathrm{/}4$ である。

(2)
$r=f(\theta )$ とすると$$(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})=(r^{\mathrm{\prime }}\cos \theta -r\sin \theta ,r^{\mathrm{\prime }}\sin \theta +r\cos \theta )\mathrm{.}$$$\theta =\pi \mathrm{/}2$ では$$(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})=(-{\displaystyle \frac{5}{8}},-{\displaystyle \frac{1}{2\pi }})\mathrm{.}$$よって接線の傾きは $4\mathrm{/}(5\pi )$ で、$$l:y={\displaystyle \frac{4}{5\pi }}x+{\displaystyle \frac{5}{8}}\mathrm{.}$$(3)
楕円を$${\displaystyle \frac{(x-k{)}^2}{A^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{B^2}}=1$$とする。$P_1$ より $A^2=(1-k{)}^2$、$P_2$ より$$B^2={\displaystyle \frac{25(1-k{)}^2}{64(1-2k)}}\mathrm{.}$$$P_2$ での法線は勾配$$(-{\displaystyle \frac{2k}{(1-k{)}^2}},{\displaystyle \frac{5}{4B^2}})$$に平行である。したがって接線の傾きを計算すると
$5k\mathrm{/}\{8(1-2k)\}$。これを $4\mathrm{/}(5\pi )$ に等置して$$k={\displaystyle \frac{32}{25\pi +64}}<{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$(1)から $P_3$ は楕円 $D$ の内部にある。