九州大学 2003年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)
1回の移動を $$R=(1,0),L=(-1,0),U=(0,1),D=(0,-1)$$ と書く。点 $A(1,1)$ に到達するには、移動回数は偶数でなければならない。このゲームは最大4回で終わるので、到達する可能性があるのは2回目または4回目である。

2回目に到達するには、$R$ と $U$ が1回ずつ出ればよい。順序は $RU,UR$ の2通りである。したがって確率は $${\displaystyle \frac{2}{4^2}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$$ である。

次に、4回目に初めて到達する場合を数える。4回後に $(1,1)$ にいるには、$RU$ に加えて打ち消し合う1組を入れる必要がある。余分な組は $R,L$ または $U,D$ である。

余分な組が $R,L$ のとき、並べる記号は $R,R,L,U$ であり、全体は $${\displaystyle \frac{4!}{2!}}=12$$ 通りである。このうち最初の2回で $R,U$ が出るものはすでに2回目で到達している。最初の2回が $RU$ または $UR$ で、残り2つを並べる場合がそれぞれ2通りあるので、除くべきものは4通りである。よってこの型は8通りである。

余分な組が $U,D$ のときも同様に8通りである。したがって4回目に初めて到達する経路は $8+8=16$ 通りで、確率は $${\displaystyle \frac{16}{4^4}}={\displaystyle \frac{1}{16}}$$ である。

よって到達確率は $${\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{16}}={\displaystyle \frac{3}{16}}$$ である。

(2)
2回目に到達した場合、1回目は1点、2回目は到達により3点なので、合計は $1+3=4$ である。4回目に初めて到達した場合、最初の3回は各1点、4回目は3点なので、合計は $1+1+1+3=6$ である。到達しない場合は4回移動して各1点なので、合計は4点である。

したがって期待値は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle E}& {\displaystyle =4\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}+6\cdot {\displaystyle \frac{1}{16}}+4(1-{\displaystyle \frac{3}{16}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}+{\displaystyle \frac{13}{4}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{33}{8}}\mathrm{.}}\end{array}$$別解。得点を「移動による基本点」と「到達時の追加2点」に分けてもよい。2回目到達のときだけ本来4回の移動が2回で終わるので、移動回数の期待値は $$2\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}+4(1-{\displaystyle \frac{1}{8}})={\displaystyle \frac{15}{4}}$$ である。到達した場合には追加点2点が入るので、追加点の期待値は $$2\cdot {\displaystyle \frac{3}{16}}={\displaystyle \frac{3}{8}}$$ である。よって $$E={\displaystyle \frac{15}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{33}{8}}$$ となる。

到達時刻を2回目・4回目に分け、格子上の状態遷移で初到達経路を数える。得点は移動の基本点と到達ボーナス2点に分ける。

(1)
$A=(1,1)$ へは偶数回目にしか到達できない。

2回目の到達経路は$$RU,UR$$の2本なので$$P(T=2)={\displaystyle \frac{2}{4^2}}={\displaystyle \frac{1}{8}}\mathrm{.}$$4回後に $A$ にいる経路は、$R,U$ に $R,L$ または $U,D$ の打消し組を
加えたものだけである。各型は $4!\mathrm{/}2!=12$ 本、計24本である。このうち2回目に
到達済みの経路は各型4本、計8本だから$$P(T=4)={\displaystyle \frac{24-8}{4^4}}={\displaystyle \frac{1}{16}}\mathrm{.}$$よって$$P(\text{到達})={\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{16}}={\displaystyle \frac{3}{16}}\mathrm{.}$$(2)
基本点は移動1回につき1点である。2回目到達の場合だけ移動回数が2となり、それ以外は
4だから$$E(\text{移動回数})=2\cdot {\displaystyle \frac{1}{8}}+4(1-{\displaystyle \frac{1}{8}})={\displaystyle \frac{15}{4}}\mathrm{.}$$到達時の追加2点の期待値は$$2\cdot {\displaystyle \frac{3}{16}}={\displaystyle \frac{3}{8}}\mathrm{.}$$したがって合計点の期待値は$${\displaystyle \frac{15}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}={\displaystyle \frac{33}{8}}\mathrm{.}$$