九州大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $r(t)=e^{-t}$ のとき $$x=e^{-t}\cos t,y=e^{-t}\sin t$$ である。

まず $x$ を微分すると $${\displaystyle \frac{dx}{dt}}=e^{-t}(-\cos t-\sin t)$$ である。したがって $dx\mathrm{/}dt=0$ となるのは $\cos t+\sin t=0$ すなわち、$0\leqq t\leqq \pi$ では $$t={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$$ である。端点も調べると$$x(0)=1,x(\pi )=-e^{-\pi },x\left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)=-{\displaystyle \frac{e^{-3\pi \mathrm{/}4}}{\sqrt{2}}}$$である。よって最小値は $-{\displaystyle \frac{e^{-3\pi \mathrm{/}4}}{\sqrt{2}}}$ である。

次に $y$ を微分すると $${\displaystyle \frac{dy}{dt}}=e^{-t}(\cos t-\sin t)$$ である。$dy\mathrm{/}dt=0$ となるのは $$t={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ であり、端点では $y(0)=y(\pi )=0$ である。したがって最大値は ${\displaystyle \frac{e^{-\pi \mathrm{/}4}}{\sqrt{2}}}$ である。

曲線 $C$ は $(1,0)$ から出発し、上半平面を通って、原点へ近づきながら左側へ回り、最後に $(-e^{-\pi },0)$ に至る。左端は $t=3\pi \mathrm{/}4$、最も高い点は $t=\pi \mathrm{/}4$ である。

(2) $$F(t)=\{r(t){\}}^3{\sin }^{2}t\cos t$$ とおく。積の微分により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F^{\mathrm{\prime }}(t)}& {\displaystyle =3r(t{)}^2{r}^{\mathrm{\prime }}(t){\sin }^{2}t\cos t}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +r(t{)}^3\{2\sin t{\cos }^{2}t-{\sin }^{3}t\}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $t=0,\pi$ では $\sin t=0$ なので $F(0)=F(\pi )=0$ である。したがって $F^{\mathrm{\prime }}(t)$ を $0$ から $\pi$ まで積分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 0}& {\displaystyle =3{\int }_0^{\pi }{r}^2{r}^{\mathrm{\prime }}{\sin }^{2}t\cos tdt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_0^{\pi }{r}^3(2\sin t{\cos }^{2}t-{\sin }^{3}t)dt\mathrm{.}}\end{array}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_0^{\pi }{r}^2{r}^{\mathrm{\prime }}{\sin }^{2}t\cos tdt}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{3}}{\int }_0^{\pi }{r}^3({\sin }^{3}t-2\sin t{\cos }^{2}t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi }{r}^3({\sin }^{3}t-{\displaystyle \frac{2}{3}}\sin t)dt}\end{array}$$である。これで示された。

(3)
媒介変数表示より $$dx=(r^{\mathrm{\prime }}(t)\cos t-r(t)\sin t)dt,y=r(t)\sin t$$ である。曲線と $x$ 軸で囲まれる図形を $x$ 軸のまわりに回転すると、体積は$$V=\pi {\int }_0^{\pi }r(t{)}^2{\sin }^{2}t\{r(t)\sin t-r^{\mathrm{\prime }}(t)\cos t\}dt$$と表せる。これは $\pi y^2$ を、曲線が右から左へ進む向きの $-dx$ で積み上げる式である。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^{\pi }{r}^3{\sin }^{3}tdt-\pi {\int }_0^{\pi }{r}^2{r}^{\mathrm{\prime }}{\sin }^{2}t\cos tdt\mathrm{.}}\end{array}$$(2) を用いると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle =\pi {\int }_0^{\pi }{r}^3{\sin }^{3}tdt-\pi {\int }_0^{\pi }{r}^3({\sin }^{3}t-{\displaystyle \frac{2}{3}}\sin t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}{\int }_0^{\pi }{r}^3\sin tdt\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $r(t)=e^{-t}$ を代入すれば$$V={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}{\int }_0^{\pi }{e}^{-3t}\sin tdt$$である。

(1) (2) は微分と部分積分で処理する。(3) は極座標の微小面積を $x$ 軸回転し、半径方向も積分して体積公式を直接導く。

(1) $$x^{\mathrm{\prime }}(t)=-e^{-t}(\cos t+\sin t),y^{\mathrm{\prime }}(t)=e^{-t}(\cos t-\sin t)$$より、端点も比較して$$\min x=-{\displaystyle \frac{e^{-3\pi \mathrm{/}4}}{\sqrt{2}}},\max y={\displaystyle \frac{e^{-\pi \mathrm{/}4}}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$(2)$${\int }_0^{\pi }{r}^2{r}^{\mathrm{\prime }}{\sin }^{2}t\cos tdt={\displaystyle \frac{1}{3}}{\int }_0^{\pi }(r^3{)}^{\mathrm{\prime }}{\sin }^{2}t\cos tdt$$に部分積分を用いる。端点では $\sin t=0$ だから境界項は0であり、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle -{\displaystyle \frac{1}{3}}{\int }_0^{\pi }{r}^3(2\sin t{\cos }^{2}t-{\sin }^{3}t)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi }{r}^3({\sin }^{3}t-{\displaystyle \frac{2}{3}}\sin t)dt\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
角 $t$ の方向、原点からの距離 $\rho$ にある微小面積は$$dA=\rho d\rho dt\mathrm{.}$$これを $x$ 軸のまわりに回すと、その重心が描く円周は
$2\pi \rho \sin t$ だから微小体積は$$dV=2\pi {\rho }^2\sin td\rho dt\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle V}& {\displaystyle ={\int }_0^{\pi }{\int }_0^{r(t)}2\pi {\rho }^2\sin td\rho dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}{\int }_0^{\pi }r(t{)}^3\sin tdt\mathrm{.}}\end{array}$$$r(t)=e^{-t}$ を代入すれば$$V={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}{\int }_0^{\pi }{e}^{-3t}\sin tdt\mathrm{.}$$