九州大学 2002年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $e^x$ は $-1\leqq x\leqq 1$ で $e^{-1}\leqq e^x\leqq e$ を動く。したがって $a$ の位置で場合分けする。

まず $a\leqq e^{-1}$ のとき、常に $e^x-a\geqq 0$ であるから$$f(a)={\int }_{-1}^1(e^x-a)dx=e-e^{-1}-2a$$である。

次に $e^{-1}<a<e$ のとき、$e^x=a$ となる点は $x=\log a$ である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(a)}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^{\log a}(a-e^x)dx+{\int }_{\log a}^1(e^x-a)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\{a(x)-e^x{\}}_{-1}^{\log a}+\{e^x-ax{\}}_{\log a}^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e+e^{-1}-2a+2a\log a\mathrm{.}}\end{array}$$最後に $e\leqq a$ のとき、常に $a-e^x\geqq 0$ であるから$$f(a)={\int }_{-1}^1(a-e^x)dx=2a-e+e^{-1}$$である。

以上より$$f(a)=\{\begin{array}{ll}e-e^{-1}-2a& (a\leqq e^{-1}),\\ e+e^{-1}-2a+2a\log a& (e^{-1}<a<e),\\ 2a-e+e^{-1}& (e\leqq a)\end{array}$$である。

(2) $a\leqq e^{-1}$ では $f(a)=e-e^{-1}-2a$ だから、$a$ が増えると $f(a)$ は減少する。$e\leqq a$ では $f(a)=2a-e+e^{-1}$ だから、$a$ が増えると $f(a)$ は増加する。

中間の $e^{-1}<a<e$ では $$f(a)=e+e^{-1}-2a+2a\log a$$ であるから $$f^{\mathrm{\prime }}(a)=-2+2(\log a+1)=2\log a$$ である。したがって $0<a<1$ で減少し、$1<a$ で増加する。よって最小は $a=1$ でとられ、$f(1)=e+e^{-1}-2$ である。したがって $$a=1,\min f(a)=e+e^{-1}-2$$ である。

(3)

まず $2.7<e<2.8$ を用いて $2\mathrm{/}3<\log 2<4\mathrm{/}5$ を示す。 $e<2.8$ より $e^2<{2.8}^2=7.84<8=2^3$ である。両辺の3乗根を考えると $e^{2\mathrm{/}3}<2$ であるから ${\displaystyle \frac{2}{3}}<\log 2$ を得る。

また $e>2.7$ より $$e^4>{2.7}^4=53.1441>32=2^5$$ である。両辺の5乗根を考えると $2<e^{4\mathrm{/}5}$ であるから $\log 2<{\displaystyle \frac{4}{5}}$ を得る。よって $${\displaystyle \frac{2}{3}}<\log 2<{\displaystyle \frac{4}{5}}$$ である。

次に $0\leqq a\leqq 2$ での最大値を求める。(2)で見た増減より、$f(a)$ は $a=1$ まで減少し、その後増加する。したがって最大値は端点 $a=0$ または $a=2$ でとられる。 $f(0)=e-e^{-1}$ である。一方、$e^{-1}<2<e$ なので $f(2)=e+e^{-1}-4+4\log 2$ である。差を取ると $$f(2)-f(0)=2e^{-1}-4+4\log 2$$ である。ここで $e>2.7$、$\log 2<4\mathrm{/}5$ を用いると$$f(2)-f(0)<{\displaystyle \frac{2}{2.7}}-4+{\displaystyle \frac{16}{5}}={\displaystyle \frac{20}{27}}-{\displaystyle \frac{4}{5}}=-{\displaystyle \frac{8}{135}}<0$$となる。したがって $f(2)<f(0)$ であり、最大値は $e-e^{-1}$ である。

$$\int \mathrm{\mid }{e}^x-a\mathrm{\mid }dx$$は、値 $e^x$ と定数 $a$ の絶対偏差の総和である。
最小点は区間の半分ずつを左右に分ける中央値、区間上の最大点は凸性から端点
という見方で、微分計算を整理する。

(1)
$a\leqq e^{-1}$ なら$$f(a)={\int }_{-1}^1(e^x-a)dx=e-e^{-1}-2a\mathrm{.}$$$e^{-1}<a<e$ では $c=\log a$ とおき、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(a)}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^c(a-e^x)dx+{\int }_c^1(e^x-a)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =e+e^{-1}-2a+2a\log a\mathrm{.}}\end{array}$$$a\geqq e$ なら$$f(a)={\int }_{-1}^1(a-e^x)dx=2a-e+e^{-1}\mathrm{.}$$(2)
$a$ を少し増やしたとき、$e^x<a$ の部分では絶対値が増え、
$e^x>a$ の部分では減る。両部分の長さが等しいときに釣り合うので、
分点は区間 $[-1,1]$ の中央 $x=0$ である。したがって$$a=e^0=1,\min f(a)=e+e^{-1}-2.$$これは絶対偏差を最小にする値が中央値であることの直接的な適用である。

(3)
$e^2<{2.8}^2<8$ より $e^{2\mathrm{/}3}<2$、
$e^4>{2.7}^4>32$ より $e^{4\mathrm{/}5}>2$ だから$${\displaystyle \frac{2}{3}}<\log 2<{\displaystyle \frac{4}{5}}\mathrm{.}$$$f(a)$ は絶対値関数の積分なので $a$ の凸関数である。したがって
$[0,2]$ での最大値は端点にある。$$f(0)=e-e^{-1},f(2)=e+e^{-1}-4+4\log 2.$$さらに$$f(2)-f(0)<{\displaystyle \frac{2}{2.7}}-4+{\displaystyle \frac{16}{5}}<0.$$よって最大値は$$e-e^{-1}\mathrm{.}$$