九州大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1)
曲線は $$x=t^2,y=e^{-t}(t\geqq 0)$$ で表される。直線 $x=a^2$ に対応する媒介変数は $t=a$ である。また $dx=2tdt$ である。したがって面積 $S(a)$ は $$S(a)={\int }_0^{a^2}ydx={\int }_0^a{e}^{-t}\cdot 2tdt$$ である。

部分積分、または $(t+1)e^{-t}$ の微分を用いると$$\int 2t{e}^{-t}dt=-2(t+1)e^{-t}$$である。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S(a)}& {\displaystyle ={[-2(t+1)e^{-t}]}_0^a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =-2(a+1)e^{-a}+2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2\{1-(a+1)e^{-a}\}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
(1) より $S(a)=2\{1-(a+1)e^{-a}\}$ である。微分すると $S^{\mathrm{\prime }}(a)=2a{e}^{-a}$ である。$a>0$ では $2a{e}^{-a}>0$ なので、$S(a)$ は $a>0$ で単調増加する。

さらに $S^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)=2(1-a)e^{-a}$ である。したがって $0<a<1$ で $S^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)>0$、$a>1$ で $S^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(a)<0$ である。よってグラフは $0<a<1$ で下に凸、$a>1$ で上に凸であり、$a=1$ で変曲する。

また $$\underset{a\to +0}{\lim }S(a)=2\{1-1\}=0$$ である。さらに、与えられた $$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }a{e}^{-a}=0$$ と $e^{-a}\to 0$ より $$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }(a+1)e^{-a}=0$$ である。したがって $$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }S(a)=2$$ である。

以上より、グラフは $a>0$ で $(0,0)$ に近いところから単調増加し、$a=1$ で凹凸が変わり、水平な直線 $y=2$ に下から近づく概形である。

(3)
(2) より $S(a)$ は $a>0$ で連続かつ単調増加である。したがって $S(2)<1.35<S(3)$ を示せば、中間値の定理により $2<a<3$ に解が存在する。

まず $$S(2)=2(1-{\displaystyle \frac{3}{e^2}})=2-{\displaystyle \frac{6}{e^2}}$$ である。$e<3$ より $e^2<9$ だから $${\displaystyle \frac{6}{e^2}}>{\displaystyle \frac{6}{9}}={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ である。したがって $$S(2)<2-{\displaystyle \frac{2}{3}}={\displaystyle \frac{4}{3}}<1.35$$ である。

次に $$S(3)=2(1-{\displaystyle \frac{4}{e^3}})=2-{\displaystyle \frac{8}{e^3}}$$ である。$$e>2.5={\displaystyle \frac{5}{2}}$$ より $$e^3>{\left({\displaystyle \frac{5}{2}}\right)}^3={\displaystyle \frac{125}{8}}$$ だから $${\displaystyle \frac{8}{e^3}}<{\displaystyle \frac{64}{125}}$$ である。よって $$S(3)>2-{\displaystyle \frac{64}{125}}={\displaystyle \frac{186}{125}}$$ であり、$${\displaystyle \frac{186}{125}}=1.488>1.35$$ である。

以上より $S(2)<1.35<S(3)$ である。したがって、$S(a)=1.35$ となる $a$ が $2<a<3$ の範囲に存在する。