九州大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$I_0={\int }_0^2{e}^{x}dx=e^2-1$$である。 $n\geqq 1$ とする。部分積分により$${\int }_0^2{x}^n{e}^{x}dx={\left[x^n{e}^x\right]}_0^2-n{\int }_0^2{x}^{n-1}{e}^{x}dx=2^n{e}^2-n{\int }_0^2{x}^{n-1}{e}^{x}dx$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I_n}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(-1{)}^n}{n!}}(2^n{e}^2-n{\int }_0^2{x}^{n-1}{e}^{x}dx)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(-1{)}^n{2}^n{e}^2}{n!}}+{\displaystyle \frac{(-1{)}^{n-1}}{(n-1)!}}{\int }_0^2{x}^{n-1}{e}^{x}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =I_{n-1}+{\displaystyle \frac{(-1{)}^n{2}^n{e}^2}{n!}}\mathrm{.}}\end{array}$$よって $$I_n=I_{n-1}+{\displaystyle \frac{(-1{)}^n{2}^n{e}^2}{n!}}(n=1,2,\dots )$$ である。

これを用いると $I_1=I_0-2e^2=-(e^2+1),$ $$I_2=I_1+{\displaystyle \frac{4e^2}{2}}=e^2-1,$$ $$I_3=I_2-{\displaystyle \frac{8e^2}{6}}=-1-{\displaystyle \frac{e^2}{3}}$$ である。

(2) $0\leqq x\leqq 2$ では $e^x\leqq e^2$ だから、$n\geqq 1$ に対して$${\displaystyle \frac{1}{n!}}{\int }_0^2{x}^n{e}^{x}dx\leqq {\displaystyle \frac{e^2}{n!}}{\int }_0^2{x}^{n}dx={\displaystyle \frac{e^2}{n!}}\cdot {\displaystyle \frac{2^{n+1}}{n+1}}={\displaystyle \frac{2^{n+1}{e}^2}{(n+1)n!}}$$である。

ここで $(n+1)n!\geqq 2\cdot 3^{n-1}(n\geqq 1)$ を示す。$n=1$ では両辺とも2で成り立つ。$(n+1)n!$ から $(n+2)(n+1)!$ への倍率は $n+2$ であり、$n\geqq 1$ なら $n+2\geqq 3$ である。したがって右辺の倍率3以上で増えるので、すべての $n\geqq 1$ で上の不等式が成り立つ。

よって$${\displaystyle \frac{2^{n+1}{e}^2}{(n+1)n!}}\leqq {\displaystyle \frac{2^{n+1}{e}^2}{2\cdot 3^{n-1}}}=2e^2{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{n-1}$$である。以上より$${\displaystyle \frac{1}{n!}}{\int }_0^2{x}^n{e}^{x}dx\leqq 2e^2{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{n-1}$$が示された。

(3)

(1) の漸化式を $1$ から $n$ まで足し合わせると$$I_n=I_0+e^2\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{(-1{)}^k{2}^k}{k!}}$$である。$I_0=e^2-1$ だから$$I_n=e^2\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{(-1{)}^k{2}^k}{k!}}-1$$となる。

一方、$I_n$ の絶対値は$$\mathrm{\mid }{I}_n\mathrm{\mid }={\displaystyle \frac{1}{n!}}{\int }_0^2{x}^n{e}^{x}dx$$である。(2)より $$0\leqq \mathrm{\mid }{I}_n\mathrm{\mid }\leqq 2e^2{\left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)}^{n-1}$$ であり、右辺は $n\to \mathrm{\infty }$ で0に近づく。したがって$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{I}_n=0$$である。

ゆえに$$0=e^2\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{(-1{)}^k{2}^k}{k!}}-1$$となるので、求める極限は$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{(-1{)}^k{2}^k}{k!}}={\displaystyle \frac{1}{e^2}}=e^{-2}$$である。

部分積分でつながる $I_n$