九州大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1)
曲線 $y=x^p$ は $x\geqq 0$ で単調に増加する。$0\leqq y\leqq n$ を $$j\leqq y\leqq j+1(j=0,1,\dots ,n-1)$$ という $n$ 個の水平な帯に分けると、曲線は各帯をちょうど1回ずつ通る。

各帯の中で、曲線が通る単位正方形は1個だけである。したがって、グラフ $y=x^p$ と交わる単位正方形の個数は $n$ である。

(2) $D_n$ に完全に含まれる単位正方形の面積の合計は $M_n$ である。一方、$D_n$ と単位正方形のずれは、境界の曲線 $y=x^p$ と交わる単位正方形の部分だけで起こる。(1) よりその個数は $n$ 個であり、各単位正方形の面積は1である。したがって $M_n<S_n<M_n+n$ である。

また、$D_n$ の面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n}& {\displaystyle ={\int }_0^{n^{1\mathrm{/}p}}(n-x^p)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[nx-{\displaystyle \frac{x^{p+1}}{p+1}}]}_0^{n^{1\mathrm{/}p}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =n\cdot n^{1\mathrm{/}p}-{\displaystyle \frac{n^{(p+1)\mathrm{/}p}}{p+1}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{p}{p+1}}{n}^{(p+1)\mathrm{/}p}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
格子点数 $L_n$ と面積 $S_n$ の差も、境界付近の点の個数で評価できる。実際、各格子点を左下隅にもつ単位正方形と対応させると、完全に $D_n$ に入る正方形から来る点を除いた残りは、曲線付近または座標軸・上辺付近に限られる。これらの個数は $n$ の定数倍で抑えられるので $\mathrm{\mid }{L}_n-S_n\mathrm{\mid }\leqq Cn$ となる定数 $C$ が存在する。

したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \mid n^{-(p+1)\mathrm{/}p}{L}_n-n^{-(p+1)\mathrm{/}p}{S}_n\mid }& {\displaystyle \leqq C{n}^{-1\mathrm{/}p}}\end{array}$$であり、右辺は $n\to \mathrm{\infty }$ で0に近づく。よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{n}^{-(p+1)\mathrm{/}p}{L}_n}& {\displaystyle =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{n}^{-(p+1)\mathrm{/}p}{S}_n}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{p}{p+1}}\mathrm{.}}\end{array}$$

水平線 $y=j$ ごとに格子点数を正確に数え、床関数を外した上下評価を作る。主項はリーマン和として求める。

(1)
$i<y<i+1$ にある曲線部分では$$i^{1\mathrm{/}p}<x<(i+1{)}^{1\mathrm{/}p}\mathrm{.}$$この区間内に整数 $k$ があれば $i<k^p<i+1$ となって不可能である。したがって
曲線は各水平帯でただ1個の単位正方形の内部を通る。帯は $i=0,\dots ,n-1$ の
$n$ 個なので、交わる単位正方形は $n$ 個である。

(2)
各水平帯で、完全に含まれる正方形の面積と領域の面積との差は0より大きく1より小さい。
全帯で足せば$$M_n<S_n<M_n+n\mathrm{.}$$また$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S_n}& {\displaystyle ={\int }_0^n{y}^{1\mathrm{/}p}dy}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{p}{p+1}}{n}^{(p+1)\mathrm{/}p}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
高さ $y=j$ 上の格子点は$$(0,j),(1,j),\dots ,(\lfloor j^{1\mathrm{/}p}\rfloor ,j)$$なので$$L_n=\sum _{j=0}^n(\lfloor j^{1\mathrm{/}p}\rfloor +1)\mathrm{.}$$$$j^{1\mathrm{/}p}-1<\lfloor j^{1\mathrm{/}p}\rfloor \leqq j^{1\mathrm{/}p}$$を使うと、定数項は尺度 $n^{1+1\mathrm{/}p}$ で割った後に消える。一方$$\begin{array}{rl}{\displaystyle n^{-(p+1)\mathrm{/}p}\sum _{j=0}^n{j}^{1\mathrm{/}p}}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{j=0}^n{\left({\displaystyle \frac{j}{n}}\right)}^{1\mathrm{/}p}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ⟶{\int }_0^1{x}^{1\mathrm{/}p}dx={\displaystyle \frac{p}{p+1}}\mathrm{.}}\end{array}$$はさみうちにより求める極限は$${\displaystyle \frac{p}{p+1}}\mathrm{.}$$