九州大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験 ベクトル・図形と方程式理系数学 第4問(a)

(1) $$O=(0,0,0),A=(a,0,0),B=(0,b,0),C=(0,0,c)$$ とおくことができる。三角形 $ABC$ の重心は $$G=({\displaystyle \frac{a}{3}},{\displaystyle \frac{b}{3}},{\displaystyle \frac{c}{3}})$$ である。 $\mathrm{\angle }OGA={90}^{\circ }$ であることは $$\overrightarrow{GO}\cdot \overrightarrow{GA}=0$$ と同値である。ここで$$\overrightarrow{GO}=(-{\displaystyle \frac{a}{3}},-{\displaystyle \frac{b}{3}},-{\displaystyle \frac{c}{3}}),\overrightarrow{GA}=({\displaystyle \frac{2a}{3}},-{\displaystyle \frac{b}{3}},-{\displaystyle \frac{c}{3}})$$なので $$\overrightarrow{GO}\cdot \overrightarrow{GA}={\displaystyle \frac{-2a^2+b^2+c^2}{9}}$$ である。よって $2a^2=b^2+c^2$ を得る。

同様に $$2b^2=c^2+a^2,2c^2=a^2+b^2$$ である。3式を比べると $a^2=b^2=c^2$ であり、長さは正なので $a=b=c$ である。逆に $a=b=c$ なら上の3式はすべて成り立つので、これは必要十分条件である。

(2)
線分 $BC$ を $BD:DC=1:2$ に内分する点は $$D={\displaystyle \frac{2B+C}{3}}=(0,{\displaystyle \frac{2b}{3}},{\displaystyle \frac{c}{3}})$$ である。点 $P$ は直線 $AD$ 上にあるので、実数 $\lambda$ を用いて$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P}& {\displaystyle =A+\lambda (D-A)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(a(1-\lambda ),{\displaystyle \frac{2b\lambda }{3}},{\displaystyle \frac{c\lambda }{3}})}\end{array}$$と表せる。$P\mathrm{\ne }A$ なので $\lambda \mathrm{\ne }0$ であるが、後で得る最小点は $\lambda \mathrm{\ne }0$ を満たす。

三角形 $APQ$ の重心が $G$ であるから $${\displaystyle \frac{A+P+Q}{3}}=G$$ である。したがって $Q=3G-A-P=(a,b,c)-A-P$ より$$Q=(a(\lambda -1),b(1-{\displaystyle \frac{2\lambda }{3}}),c(1-{\displaystyle \frac{\lambda }{3}}))$$である。

よって$$O{Q}^2=a^2(\lambda -1{)}^2+b^2{(1-{\displaystyle \frac{2\lambda }{3}})}^2+c^2{(1-{\displaystyle \frac{\lambda }{3}})}^2$$である。これは $\lambda$ の二次式であり、最小にする $\lambda$ は $$\lambda ={\displaystyle \frac{3(3a^2+2b^2+c^2)}{9a^2+4b^2+c^2}}$$ である。この値を代入すると $$\min O{Q}^2={\displaystyle \frac{a^2{b}^2+4a^2{c}^2+b^2{c}^2}{9a^2+4b^2+c^2}}$$ となる。したがって $$\min OQ=\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2{b}^2+4a^2{c}^2+b^2{c}^2}{9a^2+4b^2+c^2}}}$$ である。

なお、(1) の条件 $a=b=c$ が成り立つ場合には $$\min OQ=a\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{7}}}$$ となる。

(1) は平面 $ABC$ の法線と $\overrightarrow{OG}$ の平行条件にする。(2) は $\overrightarrow{OQ}$ が描く直線と原点の距離をベクトルで求める。

(1) $$A=(a,0,0),B=(0,b,0),C=(0,0,c)$$とおく。平面 $ABC$ は$${\displaystyle \frac{x}{a}}+{\displaystyle \frac{y}{b}}+{\displaystyle \frac{z}{c}}=1$$であり、法線ベクトルは$$\mathit{n}=({\displaystyle \frac{1}{a}},{\displaystyle \frac{1}{b}},{\displaystyle \frac{1}{c}})\mathrm{.}$$3つの角が直角であることは $\overrightarrow{OG}$ が平面 $ABC$ に垂直である
ことと同値である。$$\overrightarrow{OG}={\displaystyle \frac{1}{3}}(a,b,c)$$だから $\overrightarrow{OG}\parallel \mathit{n}$ より$$a^2=b^2=c^2\mathrm{.}$$長さは正なので $a=b=c$ であり、逆も明らかである。

(2) $$\overrightarrow{AD}=-\overrightarrow{OA}+{\displaystyle \frac{2}{3}}\overrightarrow{OB}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{OC}\mathrm{.}$$$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{AD}$$ とすると、重心条件から$$\overrightarrow{OQ}=(-a,b,c)+{\displaystyle \frac{t}{3}}(3a,-2b,-c)\mathrm{.}$$したがって $Q$ は、点ベクトル$$\mathit{r}=(-a,b,c)$$を通り方向ベクトル$$\mathit{d}=(3a,-2b,-c)$$をもつ直線上を動く。原点からこの直線までの距離は$${\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{\mid }\mathit{r}{\mathrm{\mid }}^2\mathrm{\mid }\mathit{d}{\mathrm{\mid }}^2-(\mathit{r}\cdot \mathit{d}{)}^2}}{\mathrm{\mid }\mathit{d}\mathrm{\mid }}}\mathrm{.}$$分子を整理すると$$a^2{b}^2+4a^2{c}^2+b^2{c}^2$$となるので$$\min OQ=\sqrt{{\displaystyle \frac{a^2{b}^2+4a^2{c}^2+b^2{c}^2}{9a^2+4b^2+c^2}}}\mathrm{.}$$