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九州大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

座標空間内の三角柱0≦x≦1, 0≦y≦1, x≧y, 0≦z≦1を考え，
そのxy平面内の面をS，xz平面内の面をTとする．
点A(a, b, 0)をS内に，点B(c, 0, d)をT内にとり，
またC(1, 1, 1)とする．
ただし，点A，Bは原点Oとは異なるとする．

(1) ベクトルOA→およびOC→に直交する単位ベクトルを求め，
その単位ベクトルとベクトルOB→の内積の絶対値を求めよ．

(2) 四面体OABCの体積を求めよ．
ただし，点O, A, B, Cは同一平面上にないとする．

(3) 点AがS内を，点BがT内を動くとする．
このときの，四面体OABCの体積の最大値，および最大値を与える点A，Bの位置をすべて求めよ．

難易度7/ 10計算量7/ 10目安30分

ベクトル、図形と方程式　ベクトル成分計算、内積の利用、体積計算

方針

S 上の点 A は 0≦b≦a≦1、T 上の点 B は 0≦c≦1,0≦d≦1 を満たす。(1)では OA→ と OC→ の両方に垂直なベクトルを外積に相当する成分計算で作る。(2)は △OAC を底面と見て、(1)で求めた法線方向への B の距離を使うと体積が {d(a−b)+bc}/6 になる。(3)はこの一次式を制約条件内で最大化し、d(a−b)+bc≦(a−b)+b=a≦1 の等号条件を端点 b=0,1 も含めて調べる。

解答

(1) OA→=(a,b,0),OC→=(1,1,1) である。両方に直交するベクトルを (X,Y,Z) とすると aX+bY=0,X+Y+Z=0 を満たせばよい。

ここで (X,Y,Z)=(b,−a,a−b) とすれば ab+b(−a)=0 かつ b−a+a−b=0 であるから、確かに OA→ と OC→ の両方に直交する。点 A は原点とは異なるので、このベクトルは零ベクトルではない。したがって求める単位ベクトルは ±(b,−a,a−b)a2+b2+(a−b)2 である。

また OB→=(c,0,d) であるから、この単位ベクトルと OB→ の内積の絶対値は ∣bc+d(a−b)∣a2+b2+(a−b)2 である。

(2) △OAC の面積を求める。OA→ と OC→ の両方に垂直なベクトル (b,−a,a−b) の長さは a2+b2+(a−b)2 である。したがって [△OAC]=12a2+b2+(a−b)2 である。

(1) より、点 B から平面 OAC までの距離は ∣bc+d(a−b)∣a2+b2+(a−b)2 である。ここで A∈S より 0≦b≦a であり、B∈T より 0≦c≦1,0≦d≦1 だから bc+d(a−b)≧0 である。

よって四面体 OABC の体積 V はV=13[△OAC]⋅高さ=13⋅12a2+b2+(a−b)2⋅bc+d(a−b)a2+b2+(a−b)2=bc+d(a−b)6である。

(3)

制約条件は 0≦b≦a≦1,0≦c≦1,0≦d≦1 である。(2)より体積を最大にするには L=bc+d(a−b) を最大にすればよい。 c≦1, d≦1, a−b≧0, b≧0 なので L=bc+d(a−b)≦b+(a−b)=a≦1 である。したがって体積の最大値は高々 16 である。

実際に等号を達成する条件を調べる。等号にはまず a=1 が必要である。このとき L=bc+d(1−b) であり、さらに bc+d(1−b)=b+(1−b)=1 となる必要がある。 0<b<1 のときは、bc=b かつ d(1−b)=1−b が必要なので c=1,d=1 である。よって A=(1,b,0) (0<b<1),B=(1,0,1) である。 b=0 のときは L=d なので、等号には d=1 が必要であり、c は任意でよい。よって A=(1,0,0),B=(c,0,1)(0≦c≦1) である。 b=1 のときは L=c なので、等号には c=1 が必要であり、d は任意でよい。よって A=(1,1,0),B=(1,0,d)(0≦d≦1) である。

以上より、最大値は 16 であり、最大値を与える点は上に挙げた3種類である。

三角柱内の四面体

別解

解法2

方針

四面体の体積を3本の位置ベクトルの行列式で直接表す。最大化では bc+d(a−b)≦b+(a−b)=a≦1 の各等号条件を、b=0,1 の端点も含めて調べる。

解答

(1) n=(b,−a,a−b)は OA→=(a,b,0) と OC→=(1,1,1) の双方に直交する。したがって単位法線は±(b,−a,a−b)a2+b2+(a−b)2,OB→=(c,0,d) との内積の絶対値は∣bc+d(a−b)∣a2+b2+(a−b)2である。

(2)
列を OA→,OB→,OC→ とする行列式からV=16∣∣ac1b010d1∣∣=bc+d(a−b)6.(3)bc+d(a−b)≦b+(a−b)=a≦1.よって最大体積は 16。等号を与えるのはA=(1,0,0),B=(c,0,1)(0≦c≦1),A=(1,b,0),B=(1,0,1)(0<b<1),A=(1,1,0),B=(1,0,d)(0≦d≦1).

総評

難度7、計算量7。目安時間は28〜35分。前半は空間ベクトルの成分計算、後半は制約条件付きの最大化である。(1)の法線ベクトルを作ると(2)の底面積と高さがきれいに約分されるため、問題の誘導を利用したい。(3)では d(a−b)+bc≦a≦1 という評価を見つけるのが核心で、等号条件を雑に「c=d=1」としてしまうと、b=0 と b=1 の自由度を落とす。端点を分けて書くことが満点答案の条件である。

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出典: 九州大学 2004年度 前期 数学（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。